この問題を教えてください。

質問

下の画像の問題の解答をお願いします。

途中計算もお願いいたします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

v(x)L[u(x)]-u(x)L[v(x)]=[p(x){v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}]'
でv(x)=1,p(x)=1,L[1]=0とすると
L[u(x)]=u"(x)
L=(d/dx)^2
だから
L=(d/dx)^2の固有値λに応ずる固有関数をuとすると
u"=λu
λ≧0のとき
u=Ae^{x√λ}+Be^{-x√λ}
u(π)-u(-π)
=Ae^{π√λ}+Be^{-π√λ}-Ae^{-π√λ}-Be^{π√λ}=0
=(A-B)[e^{π√λ}-e^{-π√λ})]=0
A=B又はλ=0
u'(π)-u'(-π)
=(√λ)(A+B)(e^{π√λ}-e^{-π√λ})=0
A=-B又はλ=0
λ=0
u=C

λ<0のとき
u=Acos(x√-λ)+Bsin(x√-λ)
u(π)-u(-π)
=Acos(π√-λ)+Bsin(π√-λ)-Acos(π√-λ)+Bsin(π√-λ)=0
=2Bsin(π√-λ)=0
√-λが整数かB=0
u'=(√-λ){-Asin(x√-λ)+Bcos(x√-λ)}
u'(π)-u'(-π)
=(√-λ){-Asin(π√-λ)+Bcos(π√-λ)-Asin(π√-λ)-Bcos(π√-λ)}=0
=(-√-λ)Asin(π√-λ)=0
√-λが整数かA=0
√-λ=nは整数
λ=-n^2
u(x)=Acos(nx)+Bsin(nx)

お礼

どうもありがとうございました。