数学の問題を教えてください。

質問

下の問題の解答お願いします。
途中経過もよろしくお願いします。

問題↓
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条件↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1768234099.jpg

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

αu(a)+α'u'(a)=0
βu(b)+β'u'(b)=0
αv(a)+α'v'(a)=0
βv(b)+β'v'(b)=0
α'≠0
β'≠0
とすると
u'(b)=-βu(b)/β'
v'(b)=-βv(b)/β'
u'(a)=-αu(a)/α'
v'(a)=-αv(a)/α'
だから
u(x)L[v(x)]-v(x)L[u(x)]=[p(x){u(x)v'(x)-v(x)u'(x)}]'
の両辺を積分すると
∫_{a～b}{u(x)L[v(x)]-v(x)L[u(x)]}dx
=[p(x){u(x)v'(x)-v(x)u'(x)}]_{a～b}
=[p(b){u(b)v'(b)-v(b)u'(b)}]-[p(a){u(a)v'(a)-v(a)u'(a)}]
=[p(b){-u(b)βv(b)/β'+v(b)βu(b)/β'}]-[p(a){-u(a)αv(a)/α'+v(a)αu(a)/α'}]
=0
↓
∫_{a～b}u(x)L[v(x)]dx=∫_{a～b}v(x)L[u(x)]dx
∴<u,Lv>=<Lu,v>

線形作用素Lの異なる固有値λ≠μ,に属する
固有関数をu=u_i,v=u_j,i≠j
とすれば,
L[u(x)]=λu(x)
L[v(x)]=μv(x)
↓
<u,Lv>=∫_{a～b}u(x)L[v(x)]dx=μ∫_{a～b}u(x)v(x)dx
<Lu,v>=∫_{a～b}v(x)L[u(x)]dx=λ∫_{a～b}u(x)v(x)dx
↓<u,Lv>=<Lu,v>だから
(λ-μ)∫_{a～b}u(x)v(x)dx=0
↓λ≠μだから
∫_{a～b}u(x)v(x)dx=0

お礼

どうもありがとうございました！