数学の問題が分かりません。

質問

（1）以外の問題が分かりません。詳しい解説・途中式、解答をお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(2)
三角形ABCは BA = BC = 1 , ∠ABC = 90° の直角二等辺三角形なので
∠BCA = 45° 、AC = √2 である。
（三角形AEDも同じ形である）
∠ACD = x とする。
三角形ACDは AC = AD = √2 , CD = 1 の二等辺三角形である。
CDの中点をMとすると AM ⊥ CD であり
三角形ACMに三平方の定理を用いて
AM^2 = AC^2 - CM^2 = 2 - (1/4) = 7/4
よって AM = √7/2 , CM = 1/2 である。
直角三角形ACMに注目すると
cos x = CM/AC = 1/2√2
sin x = AM/AC = √7/2√2
とわかる。よって
cos∠ACD = cos(45° + x)
= cos45°cos x - sin45°sin x
= (1/√2) * (1/2√2) - (1/√2) * (√7/2√2)
= (1/4) - (√7/4) = (1 - √7)/4 …答

(3)
三角形ACDに注目して
∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - 2x
とわかる。よって
∠BAE = ∠BAC + ∠CAD + ∠DAE = 45° + (180° - 2x) + 45° = 270° - 2x
であり
cos∠BAE = cos(270° - 2x)
= cos270° cos 2x + sin270° sin 2x
= 0 + (-1) sin 2x
= -2 * sin x * cos x = -2 * (√7/2√2) * (1/2√2) = - (√7/4)
とわかる。
三角形ABEに余弦定理を用いて
BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 AB * AE * cos∠BAE = 1 + 1 + (√7/2) = (4 + √7)/2
= (8 + 2√7)/4 = { (1 + √7)/2 }^2
よって
BE = (1 + √7) / 2 …答

(4)
△ABE = (1/2) * AB * AE * sin∠BAE
= (1/2) sin (270° - 2x)
= (1/2) ( sin270° cos 2x - cos270° sin 2x )
= (1/2) (-cos 2x)
= (-1/2) { 2 (cos x)^2 - 1 }
= (-1/2) { 2 * (1/2√2)^2 - 1 }
= 3/8

ここで、Aから辺BEに垂線AHをおろす。
△ABE = (1/2) * BE * AH より
3/8 = (1/2) * { (1 + √7) / 2 } * AH
AH = 3 / { 2 (√7 + 1) } = (√7 - 1) / 4
3点A,H,Mはこの順に同一直線上にあるので
HM = AM - AH = (√7/2) - (√7 - 1) / 4 = (√7 + 1) / 4
△APH と △ACM は相似であり
AP : PC = AH : HM
が成立するので
AP : PC = { (√7 - 1) / 4 } : { (√7 + 1) / 4 }
= (√7 - 1) : (√7 + 1)
これは △ABP : △BCP の比に等しい。
△ABC = (1/2) * AB * BC = 1/2 より
△BCP = △ABC * ( CP / AC )
= (1/2) * { (√7 + 1) / (2√7) }
= (1/2) * { (7 + √7) / 14 }
= (7 + √7) / 28 …答