不等式の問題についての質問

質問

問題

x >0において、１+ｘ-ｘ２乗 < sinx - cosx　が成立することを示せ。

という問題です。
どなたかやり方を教えてくれませんか？

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

問題は、
x>0
1 + x - x^2 < sinx + cosx
だよね、たぶん。

f(x) = sinx + cosx - 1 - x + x^2
f'(x) = cosx - sinx - 1 + 2*x
f''(x) = -sinx - cosx + 2 = -√2sin(x+π/4) + 2 > 0
なので、f'(x)は増加関数
f'(0) = 1 - 1 = 0
f'(x) > 0
このことより、f(x)は増加関数
f(0) = 0 < f(x)
よって、
f(x) = sinx + cosx - 1 - x - x^2 > 0
∴　sinx + cosx > 1 + x - x^2

（「*」は「×」の意味で、x^2はxの2乗の意味）

お礼

解答ありがとうございます
理解できました

そういう記号があるんですね
次からは記号を使います

回答No.1

info22_

> x>0において、1+x-x^2 < sin(x) - cos(x)が成立する

x=π/4(>0)で
　左辺=1+π/4-(π/4)^2=1.1685…
　右辺=sin(x)-cos(x)=1/√2 -1/√2 =0
　左辺>右辺
となって不等式が成り立ちません。
x>0で不等式が成り立たない場合がある。
なので正しくない命題なので、証明は不可能です。

お礼

右辺はsinx+cosxです

問題が見にくくてすいません