不等式について

質問

｜(sinx-cosx)/(x-y)｜≦kとなるkを求めよ。という問題です。範囲の制限はありません。

平均値の定理より1が予測される、とありますがどうしてでしょうか。平均値の定理も知っていてcosc(y<c<x)があることもわかりますが理解できませんでした。

-1≦cosx≦1より-1となる気がしてしまいます。

どなたか教えてください。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

平均値の定理が出てくるところを見ると、正しい式は、
｜(cosx-cosy)/(x-y)｜≦k
でしょうか。

> -1≦cosx≦1より-1となる気がしてしまいます。
絶対値があるので、k = 1 になりますが。
絶対値を含んだ式の値が、マイナスになることはあり得ませんから。

それは置くとしても、
｜(cosx-cosy)/(x-y)｜≦k
で、この式を上から抑える k を求めるのですから、
-1≦cosx≦1
の取り得る値の、「最大値」でなければなりません。

また、わざわざ、「予想される」と書かれているのは、k = 1 であれば、｜(cosx-cosy)/(x-y)｜≦k は満たしますが（いわゆる充分条件）それが、k の取り得る最小値かどうかは、平均値の定理だけではわからないからでしょう。

お礼

すみませんでした。ありがとうございました。