不等式の問題

質問

[問]　０＜ｘ＜π/２　のとき、(２/π)*ｘ＜sinｘ＜ｘ　を導け。

(解)
仮定より ０＜ｘ＜π/２ なので、
　ｆ(ｘ)＝sinｘ　とおくと、ｆ'(ｘ)＝cosｘ　,　ｆ”(ｘ)＝－sinｘ　＜０
より、ｆ(ｘ)は上に凸の関数である。

ここまでは分かるのですが、最後まで導けません。
グラフを書いたら、ｆ(ｘ)が　ｙ＝ｘ　と　ｙ＝(２/π)*ｘ　の間にはさまれるというのは分かったのですが…
簡単かもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

こういう大小関係の問題は大きい方から小さい方を引いた差の関数が指定のxの範囲で正（＞,＜の場合）または正またはゼロ（≧,≦の場合）を示すのが定石です。

0＜x＜π/2で
f(x)=sin(x)-(2/π)x＞0
g(x)=x-sin(x)＞0
を示せば良いです。

0＜x＜π/2で
f(0)=0,f'(x)=cos(x)-(2/π),f''(x)=-sin(x)＜0(上に凸)
0＜x＜arccos(2/π）でf'(x)＞0（f(x)は増加関数）,
f'(arccos(2/π)=0(極大値＝最大値),
arccos(2/π)＜x＜π/2でf'(x)＜0（f(x)が減少関数）,
f(π/2)=1-(2/π)＞0
（できれば増減表を描く）
以上から 0＜x＜π/2でf(x)＞0…(A)

0＜x＜π/2で
g(0)=0,g'(x)=1-cos(x)＞0（単調増加関数）,g''(x)=sin(x)＞0（下に凸）
（できれば増減表を描く）
以上から 0＜x＜π/2でg(x)＞0…(B)

(A),(B)から
0＜x＜π/2で　(2/π)*ｘ＜sinｘ＜ｘ
が示された。

回答No.3

aquarius_hiro

xyz0122さん、こんにちは。

> グラフを書いたら、ｆ(ｘ)が　ｙ＝ｘ　と　ｙ＝(２/π)*ｘ　の間にはさまれるというのは分かったのですが…

0<x<π/2を満たすすべてのxについて、そうなるということは、そのまま x > f(x) > (2/π)x ということですので、それで導いたことになります。「グラフより・・・」と書きます。

上に凸ということは、グラフを描くときに使います。x=0での接線がy=xで、(x,y)=(0,0)と(π/2,1)を結ぶ直線がy=(2/π)xなので、0<x<π/2を満たすすべてのxについて、y=f(x)はその間にあります。

回答No.1

noname#181872

不等式を2つに分けてください。
(２/π)*ｘ<sin xとsin x<xですね。

で、0<x<π/2の範囲でsin x<xの証明はこの範囲でx-sin x>0であれば
いいですよね。あとはできるかな？

前の方も同じです。