ラプラス変換に関して

質問

f(t) = te^at →(ラプラス変換)　F(s) = 1/(s-a)^2

この計算の途中過程を教えてください。

e^-st　をどのように使うかがよくわかりません

回答宜しくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

e^(-st) の使い方って…
ラプラス変換の定義 L[ f(t) ] = ∫[0～∞] f(t) e^(-st) dt
を知らなければ、話にならない。
計算練習の前に、一通り本を読もう。

G(s) = L[ g(t) ] と置くとき、
L[ g(t) e^(at) ] = ∫[0～∞] g(t) e^(at) e^(-st) dt
= ∫[0～∞] g(t) e^((a-s)t) dt
= G(s-a).
これは基本公式。是非、導出込みで理解しておかなければ。

g(t) = t の場合に、問題の
F(s) = L[ f(t) ] = L[ t e^(at) ] になる。

G(s) = L[ t ] = ∫[0～∞] t e^(-st) dt
= (1/s^2) ∫[0～∞] u e^(-u) du　;　u = st
= (1/s^2) { [-u e^(-u)]_(0～∞) - ∫[0～∞] -e^(-u) du }　;　部分積分
= (1/s^2) { (0 - 0) - [e^(-u)]_(0～∞) }
= 1/s^2
…は、計算せずに、ラプラス変換で引いてもいいが、

いづれにせよ、
F(s) = G(s-a) = 1/(s-a)^2.

お礼

回答ありがとうございました。

大変ためになりました。

回答No.2

info22_

>この計算の途中過程を教えてください。
>e^(-st)　をどのように使うかがよくわかりません

ラプラス変換の定義
G(s)=L(g(t))=∫[0,∞] g(t)e^(-st)dt
g(t)=1(t≧0),=0(t<0)のとき
G(s)=∫[0,∞] 1 e^(-st)dt=1/s
なのでこれをsで微分して
∫[0,∞] -te^(-st)dt=-1/s^2
-1を掛けて
∫[0,∞] te^(-st)dt=1/s^2
sに (s-a)を代入すると
∫[0,∞] te^(-(s-a)t)dt=1/(s-a)^2
∫[0,∞] te^(at)e^(-st)dt=1/(s-a)^2
f(t)=te^(at)とおくと
F(s)=L(f(t))=1/(s-a)^2

aの代わりに-aとおけば
F(s)=L[te^(-at)]=1/(s+a)^2
も得られます(実用上はこちらの方が有用)。

お礼

回答ありがとうございました。

とてもわかりやすかったです。