ラプラス逆変換について

質問

ラプラス逆変換の式の定義が
　 1
----∫F(s)e^st ds で与えられることは分かりました
2πi

実際にこれを計算するときには留数定理を使って
もとの形f(t)になっていることもわかりました
しかし何故この式がF(s)→f(t)に戻せる変換なのか分かりません
普段はラプラス変換表などから
ラプラス逆変換を求めるためあまり使わないと思うのですが
この式はどういう意味をもったものなのでしょうか

回答No.1

reiman · ベストアンサー

ラプラス変換はフーリエ変換そのもの

g(t)=exp(-pt)f(t)・・・(0)
のフーリエ変換は
G(w)=∫g(t)exp(-iwt)dt・・・(1)
G(w)のフーリエ逆変換は
g(t)=1/2/π∫G(w)exp(jwt)dw・・・(2)
(1)を(0)を使って書き直すと
G(w)=∫exp(-pt)f(t)exp(-iwt)dt
G(w)=∫f(t)exp(-(p+iw)t)dt・・・(3)
(2)を(0)を使って書き直すと
exp(-pt)f(t)=1/2/π∫G(w)exp(iwt)dw
f(t)=1/2/π∫G(w)exp((p+iw)t)dw・・・(4)
(3)をs=p+iwとして書き直すと
Go(s)=∫f(t)exp(-st)dt・・・(5)
(4)をs=p+iwとして書き直すと
f(t)=1/2/π/i∫[s:p-i∞→p+i∞]Go(s)exp(st)ds・・・(6)
ただしpは固定でGo(s)=G(w)

なお、(1)が計算で切るためには少なくともf(t)は左側に指数関数的以上に減少していなければならない。
特に片側ラプラス変換の場合にはt<0においてf(t)=0とすることによりこの条件を満たしている。
両側ラプラス変換の場合にはf(t)は左側に急減少とする。
なおコーシーの積分定理により(6)の積分経路は右側に特異点がなければ必ずしも直線でなくてもよい。

お礼

フーリエ逆変換が元に戻ることを示せればよさそうなので
フーリエ変換を勉強しようと思います
回答ありがとうございました

回答No.3

reiman

∫exp(i2πft)dt=δ(t)
です。
//www.cs.miyazaki-u.ac.jp/~date/lectures/am2/note061213am2F.pdf

お礼

全て納得することができました
今まで教えていただきありがとうございました

回答No.2

reiman

>フーリエ逆変換が元に戻ることを示せればよさそうなので

G(f)=∫g(t)exp(-i2πft)dt
とすると
∫G(f)exp(i2πft)df
=∫(∫g(τ)exp(-i2πfτ)dτ)exp(i2πft)df
=∬g(τ)exp(i2πf(t-τ))dτdf
=∫g(τ)(∫exp(i2πf(t-τ))df)dτ
=∫g(τ)δ(t-τ)dτ
=g(t)

お礼

何度も回答ありがとうございます
=∫g(τ)(∫exp(i2πf(t-τ))df)dτ
=∫g(τ)δ(t-τ)dτ

とありますが、これは

∫exp(i2πf(t-τ))df = δ(t-τ)

ということを示していると思うのですが
ここがよく分かりません
sinc関数が関係しているんでしょうか？
もし良ければ御教授お願いします