e^atのラプラス変換について

質問

e^atのラプラス変換について疑問があるので教えてください。
∫e^at×e^-st・dt =∫e^-(s-a)t・dt となりますが、
eの指数部である -(s-a)t は必ずマイナスになるのでしょうか？

たとえば、(a-s)t とすると答えが変わると思います。

回答No.4

ichiro-hot

＃１です。
資料を探してて・・・手元にないようです。
＃２さんの指摘の通りですね。

>>σ＜real（s)である任意の複素数sについて

通常は複素変数で考えるのでこのような表現になっていますが，理解しにくいので画像での計算は厳密な表現を避け「実数」を用いた表現を使っているようです。
著者によっては斜体や太文字を複素数、普通の字体を実数（複素数の絶対値としているかもしれません。（ｓが複素数ならｓに絶対値の記号なりがなければ・・・）

ポイントは2番目の[　　]（ｔ＝０→∞）で次の第1項｛eｘｐ－（s-a）ｔ｝（ｔ→∞）がeｘｐ（－∞）と書き換えてあるところです。
そうでないと発散してしまいますね。これが０になるということで積分に意味が出てきます。複素数でのこの収束性を証明するために結構な行数が割かれていたと思い、資料を探したのですが・・・

単に　（a-s)ｔとすると（a－s)＜０が明示できないので
　｛exp（a-s)ｔ｝（ｔ→∞）＝０
　がすぐにわからない。

だから　（ｓ-a)を使い（ｓ－a)＞０から「符号が－であることを明示しておいて」、
　ｔ→∞のとき
　－（s-a）ｔ→－（＋）×（＋∞）＝－∞
　↑　　　　　　　　↑ここの表現を工夫しようとしただけ
と表そうとしただけだと思います。
それを先に積分の式の段階で織り込んだのでしょう。
どちらを用いても結果は同じです。指数部が－∞になることを「判断する仕方」が違ってくるだけです。

補足

みなさんご回答ありがとうございます。

残念ながら難しすぎて理解できません。
(またここで挫折してしまうのか・・・)

"急ぎ"としましたが、少々お時間を。

回答No.3

info22

> eの指数部である -(s-a)t は必ずマイナスになるのでしょうか？
ラプラス変換の定義からstの係数はマイナスです。
これはラプラス変換が存在する条件としての積分の収束性と関係します。
∫[0→∞]f(t)e^(-st)ds、におけるsは
　s=σ+jω（σはσ>0の小さな実数,-∞<ω<∞)
です。
ラプラス変換では積分範囲でも分かるように定義域は　0≦t＜∞
であり、t→∞で|e^(-st)|=e^(-σt)→0となります。
|e^(-(s-a)t)|=e^(-(σ-a)t→0(ただし、収束条件はσ>a )

もし、stの前の符号がプラスだと
t→∞で|e^(st)|=e^(σt)→∞
|e^(s-a)t|=e^((σ-a)t)→∞(σ>a )
となり発散しラプラス変換が存在しなくなります。

参考URL
http://www.teu.ac.jp/ohshe/e-learning/offline/offline3.html
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-3Rapurasuteigi.htm

回答No.2

reiman

x(t)のラプラス変換というものはある実数σが存在して
σ＜real（s)である任意の複素数sについて
∫[t:0→∞］x(t)ｅｘｐ（－ｓｔ）dt
が存在すればそれをx(t)のラプラス変換とするというものです。
したがって
e^（at）もあなたが出してきた関数（e^a）tもラプラス変換可能です。
あなたが問題にしている関数e^at＝（e^a）t≠e^（at）はつまらないので
e^（at）についていうと
σとしてａを選択できるのでe^（at）はラプラス変換可能です。
σが存在しなければラプラス変換不可能です。

回答No.1

ichiro-hot

ラプラス変換そのものではなく・・・
この前にｓ＞aの条件が有るのでは？
ｔ→∞のとき、積分後の指数部が－∞になるのを解りやすくしようとしたのだと思います。

補足

回答ありがとうございます。

手元で見ている参考書には条件らしい記述がありません。
(なるべく易しいものを選んだせいかも・・・）

簡単にいうと、s>a の条件下でラプラス変換できると
いうことでしょうか？