ラプラス変換の微分方程式

質問

ラプラス変換の微分方程式

今ラプラス変換の微分方程式の問題を解いているところなんですが
途中の計算過程で行き詰ってしまって困っています。
今解いている問題なんですが
x''+x'=0 - (1)
x(0)=2,x(-1)=1+e-1 - (2)　(e-1:eの-1乗)

計算過程：
(1)より、
s2X(s)-x(0)s-x'(0)+sX(s)-x(0)=0 (s2:sの2乗)
x'(0)=aとおくと、
X(s)(s2+s)-2s-a-2=0 (s2:sの2乗)
X(s)=2s+a+2/(s2+s) (s2:sの2乗) - (3)
ここまでは進めることができました。
しかしこの後(2)式の条件x(-1)=1+e-1を
使うために(3)式でx(t)を求めなけらばならないのですが、
うまく式を整理することができなくて求めることができません。
ここから先の計算方法と最終的な回答を教えていただきたいので
お助け願います。

回答No.10

ykskhgaki · ベストアンサー

#3 です。
t=0 は過渡現象が発生した時刻を表しています。
過渡現象は t=0 でその物理系の状態が変化し、その変化に対する応答を表しています。

故に、t=0 で外力が加わったか、あるいは外力が無くなったか、ストッパーが外れたかなどで
t<0 の時と 0≦t の時では物理的条件が異なり、0≦t の解から t<0 での値を求めることは
意味がありません（定義されていません）。

t<0 に於いても実際の物理系では何らかの値を持っているはずですが、それらをすべて t=0
に於ける初期条件に集約して t<0 では x(t)=0 として解くのがラプラス変換の遣り方です。

例えば、X(s) = 1/s を時間領域に変換したとき、x(t) = 1 とするのは暗黙に 0≦t として
いるからで、正しくは、x(t) = u(t) と表記すべきです。
ここで、u(t)=1 (0≦t), u(t)=0 (t<0)

以上のことから t<0 での値を初期値とするのは問題として正しくありません。
0≦t の任意の時間の値を使っても解は得られますが、t=-1 が t=0 の間違いなのか t=1 の間違い
なのかは私には分かりません。

質問者の方は、t=-1 となっている言っているので、そのままでは問題が間違いであるというのが正解でしょう。

回答No.9

Ae610

ANo.3,4,6です。
符号ミスは了解・・・！

然し乍ら、勝手に作り上げた初期条件を当てはめてラプラス変換を解いて、何故に「これが正解である」などと主張する事が出来るのか・・・！？

質問者様からは一応x(0)=2 , x(-1)=1+1/eが当該問題の初期条件である事を確認している。（この条件そのものがミスプリントであるかは、現時点では分からない）
確かに質問で出された微分方程式の(t≧0で定義された)ラプラス変換による解法で、未知数となるものはx'(0)であって、これを一旦未定常数として扱いラプラス変換に含めて、後から与えられた初期条件式を当てはめて未定常数を決定するというやり方は微分方程式の解法の一手法である。条件式を勝手に作り変えて、それに当てはめるような手法は許されないのである（それは証明を必要とする）。

当該問題の場合、その初期条件式がt＜0の範囲で与えられていてそれは0ではない。
なので定義域としては存在し得ないが、関数値としては許されているという事が言える。従ってその値を以て未定常数x'(0)を決める事になる。

もしも、それが許されないとするならば、例えば差分方程式で与えられた関係式をラプラス変換によって解く場合など(一例としてx(t) - x(t-1) = 0をラプラス変換によって解く場合など)で、t＜0でx(t)に0でない解がないとすると、X(s) = 0となり恒等的0である解x(t) = 0の他に解がないと言う事になってしまう。

回答No.8

info22_

#1,#2です。

A#1で最後の式のaの代入で符号のミスがありましたので訂正しておきます。
>>X(s)=(2s+a+2)/(s2+s)
>=(a+2)/s-a/(s+1)
>逆変換して
>x(t)=a+2-ae^(-t)=3+(1/e)+{1+(1/e)}e^(-t)
正：x(t)=a+2-ae^(-t)=3+(1/e)-{1+(1/e)}e^(-t) …(☆)

>と求まります。

【検証】(☆)の式でt=0とおくと
x(0)=3+(1/e)-{1+(1/e)}=2
となって初期条件を満たすことが分かる。

(☆)の式を微分してt=0とおくと
x'(t)={1+(1/e)}e^(-t)
x'(0)=1+(1/e)
となって初期条件を満たすことが分かる。

（注）他の方も言っておられるように、過渡現象はx<0の回路の電圧や電流などは全てt=0の初期値の条件に含まれますので、t≧0での微分方程式の解からt<0の回路の微分方程式のx(t)(t<0）のt=-1での値をt≧0から求めたx(t)から求めることは出来ません。t<0の回路の構成がt≧0の回路構成と同じである保証もなく、微分方程式そのものが同じとは限りません。なのでt≧0の微分方程式から求めた解x(t)の式(t≧0における式)で形式的にt=-1とおいてt<0のx(-1)とすることは間違いなのです。

回答No.7

ykskhgaki

#1さんの答えは、式を書き換えるときの単なる符号の書き間違いです。

x(t) = a + 2 - ae^(-t) = 3 + (1/e) - {1+(1/e)}e^(-t)

ラプラス変換の定義では、t = 0 以前の現象の影響が t = 0 での
初期値にすべてが集約され

t < 0　のとき x(t) = 0 になるはずです。

回答No.6

Ae610

ANo.3&4です。
ごもっとも・・・！
確かにt＜0でx(t)に初期条件を与えていることは何か変！
・・・だとすると考えられる初期条件として
x(1) = 1 + 1/e・・・の誤りではないかとも取れる。
その様に考えた場合、
x(1) = 2 + c(1-1/e) = 1 + 1/eであるから
c = (1 - e)/(e - 1)

x(t) = 2 + {(1 - e)/(e - 1)}・(1 - e^-t)

因みにANo.1様の答えとするとx(0) = 2を満足しない！

回答No.5

ykskhgaki

#1(info22)さんの回答が正しいと思います。

ラプラス変換は本来　0 ≦ t の領域で定義されているはずです。

過渡現象が始まる１秒前の状態を初期条件とすることがあるとは思えません。

回答No.4

Ae610

ANo.3です。
x(-1) = 2 + c(1-e) = 1 + 1/e
の書き間違いでした。（失礼！）

回答No.3

Ae610

X(s)=2s+c+2/(s^2+s) = 2/s + c(1/s - 1/(s+1))
∴x(t) = invL{X(s)} = 2 + c(1-e^-t)
条件x(-1) = 1+e^-1 より
x(t) = 2 + c(1-e) = 1 + 1/eであるから
c = 1/e

よって
x(t) = 2 + 1/e・(1 - e^-t)

回答No.2

info22_

#1です。

問題が正しく書き込んであるなら問題そのものに間違いがあります。
問題の作成者（出版社）に問い合わせてみてください。
後の方の初期値は「x'(0)=1-(1/e)」と訂正すべきです。

間違っているものは専門家なら誰が見ても間違いと指摘するはずです。
ラプラス変換や過渡現象の微分方程式を扱った経験者に聞けば明らかです。

回答No.1

info22_

>x(0)=2,x(-1)=1+e^(-1) - (2)
これは間違いでしょう
正：x(0)=2,x'(0)=1+e^(-1) - (2)
問題を確認してください。
問題が正しければ出題者が間違えているのでしょう。

訂正したとして
質問者さんの
>x'(0)=aとおく
のaは　a=1+e^(-1)
ということになります。

そうであれば
>X(s)=2s+a+2/(s2+s)
=(a+2)/s-a/(s+1)
逆変換して
x(t)=a+2-ae^(-t)=3+(1/e)+{1+(1/e)}e^(-t)
と求まります。

補足

今一度問題を確認したのですがやはりx(0)=2,x(-1)=1+e^(-1) - (2)でした。
なので問題は間違っていないです。