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素数の逆数和の証明とは？
- 素数の逆数和が無限大に発散することを、自然数の逆数和が無限に発散することの考えを用いて示したいです。
- 素数の逆数和が無限大になる証明について、２点分からない部分があります。
- 無限等比級数の公式を使って、素数の逆数和が無限になることを示すことができます。
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10^x≧1/(1-x)（0<x≦1/2）について e^x=1+x+x^2/2+… より、 e^x≧1+x という評価式が出ます。 xを2xに置き換えても2x≧0なので、 e^2x≧1+2x が成り立ちます。 両辺に1-xを掛けると、 e^2x・(1-x)≧(1+2x)(1-x)=1+x(1-2x)≧1 となり、1-xで割ると、 e^2x≧1/(1-x) という評価式が出ます。 特に、10>e^2なので、 10^x>1/(1-x) となります。 あとは、xを1/pとして、Π1/(1-1/p)が発散することを使えば、 素数全体の逆数和が発散することが言えて、素数が無限に存在 することが言えます。 正確に証明するには、n以下の素数全体で考えて、次に、n→∞ とします。その際、n以下の素数全体では、Π1/(1-1/p)≧log(n+1) という評価式が成り立つことを使います。 n以下の素数全体でΠ1/(1-1/p)を展開して計算すると、n以下の 自然数の逆数がすべて現れるので、 Π1/(1-1/p)≧1+1/2+1/3+…+1/n≧∫(1,n+1)(1/x)dx=log(n+1) log(n+1)→∞（n→∞）なので、10^Σ(p≦n)(1/p)→∞（n→∞） となります。
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- kabaokaba
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＞右辺を展開すると自然数の逆数和になるというのがどこから判断できるのか 素因数分解の一意性と積が無限個だということ， それと分配法則の適用． >0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x どういうものも何も，こういう評価をすれば 証明できるってことに気がついたということ． 公式という類のものではありません． それと式の書き方はもっと分かりやすく 101/2+1/3+・・・ って何？せめて 10^(1/2 + 1/3 +・・・) くらいにしないと意味が通じない ========== オイラーの証明はすごいんだけども 現代的な意味では厳密ではないということに注意． すなわち今の目でみれば証明にはなっていないものも多い 穴がたくさんあるんだけども， 結局正当化できるということで そのテクニック・洞察がまさに天才ですなあ
