ベクトルの示す軌跡

質問

座標平面上において
ベクトルOA(3,1)(以後a),ベクトルOB(1,2)(以後b)が存在し、ベクトルOPについて
ベクトルOP=αa+βb
が成立する時、
3(α^2)-2(β^2)=1
の関係式が成立する、Pの軌跡を考えたいです。

(答えは、2x^2-3y^2=5の双曲線になります。)

なんとなく、斜行座標で考えると双曲線のような気がするのですが、
変数を一つにまとめて…という手法ではうまく示せそうにないです。
スマートな示し方があれば教えて下さい。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

スマートかどうかはわかりませんし「変数を一つにまとめて…」が何かもわかりませんが，ふつうに解いてみます．

曲線上の点を p = OP = (x, y) とおきます．条件から
p = αa + βb
なのでこれをαとβについて解くと
α = (2x - y)/5, β = (-x + 3y)/5
となります（ここで行列表示をしてから逆行列を使って解くのが"スマート"かもしれません）．これを条件 3α^2 - 2β^2 = 1 に代入すれば
2x^2 - 3y^2 = 5
です．

お礼

あ、普通ですね。
何故かわかりませんが、OP(x,y)とおいてはいけない、と思い込んでいました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

OP(x,y)=αa+βb=α(3,1)+β(1,2)=(3α+β,α+2β)
　x=3α+β,y=α+2β
これをα,βの連立方程式として解けば
α=(2x-y)/5,β=(3y-x)/5
このα,βを
　3(α^2)-2(β^2)=1
に代入して
　(3/25)(2x-y)^2 -(2/25)(x-3y)^2=1
　∴ 2x^2 -3y^2=5 …(答)
漸近線：y=±x√(2/3)の双曲線
標準形；(2/5)x^2 -(3/5)y^2=1

お礼

ありがとうございました。
どうやら、寝ぼけていたようです(^^;)