円のベクトル方程式について教えてください

質問

2点A(1,2),B(3,0)に対して、動点Pが| ベクトルPA＋ベクトルPB |=4を満たしながら動く
計算していくと、|ベクトルOP-1/2(ベクトルOA +ベクトルOB)|となりますが
ここでなぜ
ベクトルOC=1/2(ベクトルOA+OB)となるかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

think2nd

解答を参照しながら、考えているからではないですか？pは平面座表上を動く動点です。ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPDとします。図を描くとわかりますが、pが直線AB上にない限りいつも2つの線分BA,PBを2辺にする平行四辺形APBDができます。すなわち対角線PDとABの交点CはPが直線AB上にない限り、動きません。Cは定点A,Bの線分をを1:1に内分するから、簡単のためにベクトルoc=(ベクトルOA+ベクトルOB)/(1+1)と置いたのです。ベクトルOCは不動のベクトル(位置ベクトル)です。｜ベクトルpc｜=2から一目瞭然かとも思いますがどうでしょうか。

回答No.4

alice_44

ミスプリ陳謝：

ベクトルPA + ベクトルPB = (ベクトルOA - ベクトルOP) + (ベクトルOB - ベクトルOP)
　　= -2 ベクトルOP + ベクトルOA + ベクトルOB
　　= (-2){ ベクトルOP - (1/2)(ベクトルOA + ベクトルOB) }

回答No.3

alice_44

計算していくと、『何が』 |ベクトルOP-1/2(ベクトルOA +ベクトルOB)| となるのでしょう？
また、「なぜ ベクトルOC=1/2(ベクトルOA+OB)となるかわかりません」とのことですが、
そもそも「ベクトルOC」とは何でしょう？　質問文中に説明がありませんが。
その辺を自問して整理すれば、自力解決できるのではないかと思うのですが…

多少の解説を試みましょう。
ベクトルPA + ベクトルPB = (ベクトルOA - ベクトルOP) + (ベクトルOB - ベクトルOP)
　　= 2 ベクトルOP - ベクトルOA - ベクトルOB
　　= (-2){ ベクトルOP - (1/2)(ベクトルOA + ベクトルOB) }
と変形できるので、
｜ベクトルPA + ベクトルPB｜ = 2｜ベクトルOP - (1/2)(ベクトルOA + ベクトルOB)｜ です。
よって、｜ベクトルPA + ベクトルPB｜ = 4 は、
｜ベクトルOP - (1/2)(ベクトルOA + ベクトルOB)｜ = 2 と変形されます。
この式が円のベクトル方程式だと気づけば、P の軌跡が解ったことになります。

ベクトルOC = (1/2)(ベクトルOA + ベクトルOB) と置けば、
｜ベクトルOP - ベクトルOC｜ = 2 と書けて、確かに見やすいのですが、
点 C を置かなくても、円の式であることは十分見抜けると思います。

回答No.2

spring135

NO1です。
訂正します。

| ベクトルPA＋ベクトルPB |=4を整理すると

|ベクトルOP-1/2(ベクトルOA +ベクトルOB)|＝2

ベクトルOA +ベクトルOB＝ベクトルOD

となる点Dは平行四辺形のやり方に従ってもとめられます。

D(4,2）です。

1/2(ベクトルOA +ベクトルOB)＝1/2ベクトルOD＝ベクトルOC

なる点CはODの中点で

C(2,1）です。

従ってPはこのCを中心とし、半径2の円、つまり

(x-2)^2+(y-1)^2=4

上を動きます。

回答No.1

spring135

| ベクトルPA＋ベクトルPB |=4を整理すると

|ベクトルOP-1/2(ベクトルOA +ベクトルOB)|＝2

ベクトルOA +ベクトルOB＝ベクトルOC

となる点Cは平行四辺形のやり方に従ってもとめられます。

C(4,2）です。