ベクトル

質問

模試の過去問を学校から宿題が出て
やってるんですけど、少し戸惑ったので教えていただきたいのと、
途中まであっているか見て欲しいです！

問題↓
平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル＝bベクトルとする。
辺OAの中点をC、辺OBを１：２に内分する点をD、辺ABを３：１に内分する点をEとする。
また線分CE上に点Pをとり、CP：PE＝s：(1-s)(sは実数)とする。

１．OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
　　を用いて表せ。

２．点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。

３．問２のときOA=4、OB=3、∠AOB＝６０°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
　　点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。

という問題で、１番はそれぞれOEベクトル＝(aベクトル＋３bベクトル)/4、
OPベクトル＝1/2(1-s)aベクトル＋s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。

それ以降の解き方など教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞問題↓
＞平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル＝bベクトルとする。
＞辺OAの中点をC、辺OBを１：２に内分する点をD、辺ABを３：１に内分する点をEとする。
＞また線分CE上に点Pをとり、CP：PE＝s：(1-s)(sは実数)とする。

＞１．OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
＞　　を用いて表せ。

＞１番はそれぞれOEベクトル＝(aベクトル＋３bベクトル)/4、
＞OPベクトル＝1/2(1-s)aベクトル＋s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。
続きから、
ＯＦ＝（１／４）ａ＋（３／４）ｂ

ＯＣ＝(1/2)ＯＡ＝(1/2)ａより、
ＯＰ＝（１－ｓ）ＯＣ＋ｓＯＥ
＝（１－ｓ）・(1/2)ａ＋ｓ・｛(1/4)ａ＋(3/4)ｂ｝
＝｛(1/2)－(1/4)ｓ｝ａ＋(3/4)ｓ・ｂ　……（１）

＞２．点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
Ａ，Ｐ，Ｄは、一直線上にあるから、ＡＰ＝ｋＡＤとおける。
ＡＤ＝(2/3)ＡＯ＋(1/3)ＡＢ
＝－(2/3)ＯＡ＋(1/3)（ＯＢ－ＯＡ）
＝－ａ＋(1/3)ｂより、
ＡＰ＝ｋ｛－ａ＋(1/3)ｂ｝だから、
ＯＰ＝ＯＡ＋ｋ｛－ａ＋(1/3)ｂ｝
＝（１－ｋ）ａ＋(1/3)ｋ・ｂ　……（２）
（１）（２）より、係数比較すると、
(1/2)－(1/4)ｓ＝１－ｋ，(3/4)ｓ＝(1/3)ｋ　を連立で解くと、
ｓ＝１／４，ｋ＝９／１６
よって、（２）より、
ＯＰ＝（７／１６）ａ＋（３／１６）ｂ

＞３．問２のときOA=4、OB=3、∠AOB＝６０°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
＞　　点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。
ＯＡ・ＯＢ＝｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜cos∠AOB　だから、
ａ・ｂ＝４×３×cos６０°＝１２×（１／２）＝６

ＡＱ：ＱＢ＝ｔ：（１－ｔ）とすると、
ＯＱ＝（１－ｔ）ＯＡ＋ｔＯＢ
＝（１－ｔ）ａ＋ｔ・ｂ　……（３）
Ｏ，Ｐ，Ｑは、一直線上にあるから、ＯＱ＝ｍＯＰとおける。
ＯＱ＝ｍ｛(7/16)ａ＋(3/16)ｂ｝
＝(7/16)ｍ・ａ＋(3/16)ｍ・ｂ　……（４）
（３）（４）より、係数比較すると、
１－ｔ＝(7/16)ｍ，ｔ＝(3/16)ｍ　を連立で解くと、
ｍ＝８／５，ｔ＝３／１０
よって、（３）より、
ＯＱ＝(7/10)ａ＋(3/10)ｂ

ＲはＯＡ上の点だから、ＯＲ＝ｎＯＡ＝ｎ・ａとおける。
ＲＱ＝ＯＱ－ＯＲ＝｛(7/10)ａ＋(3/10)ｂ｝－ｎ・ａ
＝｛(7/10)－ｎ｝ａ＋(3/10)ｂ

ＯＡとＲＱは垂直だから、ＲＱ・ＯＡ＝０より、
［｛(7/10)－ｎ｝ａ＋(3/10)ｂ］・ａ
＝(7/10)・｜ａ｜^2－ｎ・｜ａ｜^2＋(3/10)（ａ・ｂ）
＝(7/10)・１６－１６ｎ＋(3/10)・６＝０だから、
ｎ＝１３／１６
よって、ＯＲ＝（１３／１６）ａ

図を描いて、計算など確認してみて下さい。
、

お礼

ご丁寧に本当にありがとうございました！

回答No.3

yyssaa

ベクトルを↑で表します。
１．OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
　　を用いて表せ。
OE↑=a↑+(3/4)AB↑=a↑+(3/4)(b↑-a↑)=(1/4)a↑+(3/4)b↑・・・答え
２．点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
OP↑=(1/2)a↑+sCE↑=(1/2)a↑+s{(1/2)a↑+(3/4)(b↑-a↑)}
={(1/2)-(1/4)s}a↑+(3/4)sb↑
sの値を求めるために、△BDEの面積を1として、以下、各三角形の
面積を計算すると、△AED=3、△OAD=(1/2)△ABD=(1/2)(1+3)=2、
△OCD=△ADC=(1/2)△OAD=(1/2)*2=1、よって△ADC/△AED=1/3。
△ADCと△AEDはADを共有するのでその面積比はCPとPEの比になる
ので、CP/PE=s/(1-s)=1/3から3s=1-s、s=1/4。これを代入して
OP↑={(1/2)-(1/4)*(1/4)}a↑+(3/4)*(1/4)b↑
=(7/16)a↑+(3/16)b↑=(7a↑+3b↑)/16・・・答え
３．問２のときOA=4、OB=3、∠AOB＝６０°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
　　点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。
u、vを定数として、OQ↑=u↑OP、AQ↑=v↑ABとおくと、
OQ↑=u{(7/16)a↑+(3/16)b↑}=a↑+AQ↑=a↑+v(b↑-a↑)
=(1-v)a↑+vb↑
a↑、b↑の係数を比較して7u/16=1-v、3u/16=v、これを解いて
u=8/5、v=3/10
BからOAに下ろした垂線の足をB'とするとOB'=3cos(π/3)=3/2
よってAB'=OA-OB'=4-3/2=5/2
△AQR∽△ABB'なので、AR/AB'=AQ/AB=3/10から
AR=(3/10)*(5/2)=3/4、よってOR=OA-AR=4-3/4=13/4
以上からOR↑={(13/4)/4}a↑=(13/16)a↑・・・答え

お礼

ご丁寧な回答本当にありがとうございました！

回答No.1

ereserve67

その調子でいいと思います．

・OPはa,bについて整理しておきましょう．

・２ではPがAD上にある条件つまりAP:PD=ｔ：(1-t)とおいてみる．そうしてOPの2通りの表現からa,bの一次独立からs,tをだす．

・３ではOQは，OPのa,bの式からQがAB上であることを使って，a,bで表せます．すると，OR=kaとおいてRQ・OA=0からkがでます．

お礼

ありがとうございました！