分数関数(分子が無理関数）の微分方程式

質問

分子が無理関数の分数微分方程式

dw/dx =(-3c/2)(x-b)^(3a/2)/(x^2+bx)

を途中を含めて教えてください。
a, b は定数で常に x>b, x>0, b>0, a>0です。

【補足】自力では積分できなかったので以下のような近似解を求めてみました。
積分できて厳密解が得られるほうが良いですが、下記よりもっと近似の良い級数解でもOKです。
御存じの方、よろしくお願いいたします。

dw/dx =-(3c/2 )(x-b)^(3a/2)/(x^2+bx)=-(3c/2 ){x(1-b/x)}^(3a/2)/{2x^2(1+b/x)}

マクローリン展開よりx>bより1>b/x>0
(1+x)^r=1+rx+r(r-1)x^2/2+・・・+r!x^n/{r-n)!n!)}より
(1-b/x)^(3a/2)≒1+(3a/2)(-b/x)=1-3ab/2x
(1+b/x)^-1≒1+(-1)(b/x)=1-b/x
よって
dw/dx≒-(3c/2 )x^(3a/2)(1-3ab/2x)(1-b/x)/x^2
= -x^(3a/2-2)(3c/2){1-b/x-3ab/(2x)-3ab^2/(2x^2)}

w=∫(-3c/2x)x^(3a/2-2){1-b/x-3ab/(2x)-3ab^2/(2x^2)}dx
w=(3c/2)∫{-x^(3a/2-2)+(b+3ab/2)x^(3a/2-3)-3ab^2x^(3a/2-4)/2}dx
w=(3c/2){-x^(3a/2-1)/(3a-2)+(b+3ab/2)x^(3a/2-2)/(3a-4)-(ab^2/2)x^(3a/2-3)(a-2)}+C

回答No.1

ibm_111 · ベストアンサー

微分方程式とはいえ、右辺はwによらないので単なる積分で、
簡単に実行できますよ？
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28x-b%29^%283a%2F2%29%2F%28x^2%2Bbx%29&random=false
リンクは途中で黒くなってしまいますが、
気にせず全部貼りつけてください。

もっとも結果は超幾何関数ですから、
あんまりうれしくないといえばそのとおりなんですけど。

お礼

ご回答をありがとうございます。超幾何関数がよくわかりません。2F1[-3a/2,-3a/2;1-3a/2;b/x]とは、どのような関数でしょうか。
実際にエクセルなどで計算させたいのですが、式を教えていただけると助かります。
また、検算のため、得られた解を微分して元の関数になるか確認するには御教示いただいたサイトでどのようにすればよろしいでしょうか。

回答No.2

ibm_111

役に立たない回答ですが。

>超幾何関数がよくわかりません。2F1[-3a/2,-3a/2;1-3a/2;b/x]とは、どのような関数でしょうか。

私にもわかりませんｗ
ある2階の微分方程式の解で、いろいろ興味深い性質を持つんでしょうけど
おそらく回答者さんの知りたい方向ではないでしょうね・・・

>実際にエクセルなどで計算させたいのですが、式を教えていただけると助かります。

エクセルで計算させるのはまず無理ではないかと。
VBAが使えるならなんとかなるかもしれません。
C言語が使えるなら、この本にアルゴリズムが出ていた気がします。
http://www.amazon.co.jp/C%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%9C%80%E6%96%B0%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0%E4%BA%8B%E5%85%B8-%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8E%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC-%E5%A5%A5%E6%9D%91-%E6%99%B4%E5%BD%A6/dp/4874084141

>また、検算のため、得られた解を微分して元の関数になるか確認するには御教示いただいたサイトでどのようにすればよろしいでしょうか。

それも無理。
本気で検算したいなら、Mathematicaみたいな数式処理ソフトを使いましょう。
今はいい時代で、フリーの数式処理ソフトは結構たくさんあります。

グラフで出力することが目的なら数式処理ソフトにやらせるか、
数値的にルンゲクッタあたりで解くか・・・
でも級数解を出したいなら、超幾何関数が結局一番便利かもしれません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B9%BE%E4%BD%95%E7%B4%9A%E6%95%B0
もともと級数で定義されてますしね