無理関数の等式

質問

無理関数の等式についてなのですが、
√(x)=ax+b－（＊１）において、根号内正よりx≧0となると思いますが、
両辺二乗して
x=(ax)^2+2abx+b^2
a^2x^2+(2ab-1)x+b^2=0－（＊2）の解にマイナスがでてくることはあるのでしょうか？
（マイナスが出てきたらx≧0に矛盾しますがそれはそれはどのように考えれば良いのでしょうか）
自分の考えでは、
【そのうち少なくとも一つの解がx<0に解を持つとすると
解の公式より
x=｛-(2ab-1)±√(4a^2b^2-4ab+1-4a^2b^2)｝/2a^2
つまりx=｛-(2ab-1)±√(-4ab+1)｝/2a^2
において
1つの解はマイナスだから必ずx=｛-(2ab-1)-√(-4ab+1)｝/2a^2<0となり
ここでa^2≧0より両辺×2a^2して
x=-(2ab-1)-√(-4ab+1)<0
∴-2ab+1<√(-4ab+1)－（ア）
根号内実数より
-4ab+1≧0
4ab≦1
ab≦(1/4)－（イ）
(i)-2ab+1>0のとき｛つまりab<1/2のとき－（ウ）｝
（ア）は（正）<(正)より両辺二乗して
4a^2b^2-4ab+1<-4ab+1
ab<0より（イ）（ウ）からab<0
(ii)-2ab+1<0のとき｛つまり1/2<abのとき｝
これは（イ）に不適
∴(i)(ii)よりab<0】
となったのですが、ab<0の(＊1）式を作ってもどうもマイナスに解を持ちません。
（＊1）のグラフから考えればマイナスに解を持つことはないように思えますが、
式的に考えると（＊2）の式がマイナスの解を持つこともありそうな気がします。
どこかが間違っているのでしょうか?
駄文になってしまいましたが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

spring135

＞式的に考えると（＊2）の式がマイナスの解を持つこともありそうな気がします。

間違ってます。（＊2）の２根の積は

b^2/a^2>0なので２根とも正か２根とも負です。

D≧0より

２根の和＝-(2ab-1)>0

よって２根とも正です。

回答No.2

178-tall

参照 URL だけでも。

(二乗操作にて生じるいわゆる「無縁解」ですネ)

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/root_inequality1.htm

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

ab＜ 0ということは、a または bのいずれかが負ということですよね。
そういう直線のグラフを考えてみればどうですか？

グラフを描いているのは、いいところをついていると思います。

そこまでくれば、y＝√xから x＝ y^2と考えてみるのもアリですよね。
考えている無理関数を放物線の上半分と見れば、「下半分」のとき・・・って感じで。
そこから yに関する 2次方程式を考えてみると、もうちょっとスッキリできると思いますよ。^^