分数関数の積分の導き方を教えてください。

質問

以下の積分を導き出す手順を教えてください。

∫{ (x-b)^(a-1)}/x dx

a, b　は実数です
。
自力で計算できなかったので、Wolfram Matheaticaのサイトで積分したところ答えが

{ (x-b)^a/ab }{ 1 - (1-b/x)^-a 2F1(-a, -a; 1-a; b/x) }

とガウスの超幾何級数を用いて算出されました。

確かに普通に積分しようとしても積分できそうになく級数に頼るしかないと模索していましたが、
どのように算出されたのかさっぱりわかりません。

導き方をご存知の方ご教示いただきたくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

超幾何級数まで一般化してもいいけれど、
∫ {(x-b)^(a-1)}/x dx
= ∫ (x^-1)(x-b)^(a-1) dx
= ∫ {(bt)^-1}(bt-b)^(a-1) b dt　 ; x = bt
= {(-b)^(a-1)} ∫ (t^-1)(1-t)^(a-1) dt
は、不完全ベータ積分を使って
= {(-b)^(a-1)} {B(t; 0,a) + (定数C)}
= {(-b)^(a-1)} B(x/b; 0,a) + (定数A)
だよね。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
不完全ベータ関数というものを使えばよいのですね。
不完全ベータ関数を知りませんでした。
早速超幾何関数への変換を試みようとしましたが、一般のベータ関数に関しては

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)の公式で
B(0,a)＝Γ(0)Γ(a)/Γ(a)＝Γ(0)

となりましたがΓ(0)は定義されていないので、おそらく不完全ベータ関数には
上式の公式が使えないのでしょうか。

また定数Aはどうしてでてくるのかとどのように導いたらよいでしょうか。

B(0,a)=∫_0→z (t^-1)(1-t)^(a-1) dt

不完全ベータ関数とベータ関数の関係式

I_z(a,b)=B_z(a,b)/B(a,b)

がウィキペディアに掲載されていますが、一般のベータ関数への変換が必要ということでしょうか。

すいません。私の知識が乏しくてついていけてません。