積分困難な関数を超幾何関数で表す方法

質問

以下の積分を不完全ベータ関数を使用し超幾何関数に変換してで表すことができるようです。

導き出す手順を教えてください。

∫{ (x-b)^(a-1)}/x dx

a, b　は実数です。

(参考)
http://okwave.jp/qa/q8067505.html

(解)
自力で計算できなかったので、Wolfram Matheaticaのサイトで積分したところ答えが

{ (x-b)^a/ab }{ 1 - (1-b/x)^-a 2F1(-a, -a; 1-a; b/x) }

とガウスの超幾何級数を用いて算出されました。
導き方がわかりません。

回答No.4

alice_44

クンマー変換は、ひとつの変換ではなくて、
x → 1-x と x → 1/x が生成する 6 個の変換からなる
変換群 { x, 1/x, 1-x, 1/(1-x), (x-1)/x, x/(x-1) }
のこと。これが何をしているかというと、
2F1 は 0, 1, ∞ に特異点を持つ複素関数なので、
一次分数変換で、三個の特異点を移し換えている。

それぞれの変換を施した微分方程式を解くと、
x(1-x)(d^2y/dx^2)+{γ-(α+β+1)x}(dy/dx)+αβy=0
に対して、解の 6 個の表示
2F1(α,β,γ; x),
{x^(1-γ)}・2F1(α-γ+1,β-γ+1,2-γ; x),
2F1(α,β,α+β-γ+1; 1-x),
{x^(γ-α-β)}・2F1(γ-α,γ-β,γ-α-β+1; 1-x),
{x^(-α)}・2F1(α,α-γ+1,α-β+1; 1/x),
{x^(-β)}・2F1(β,β-γ+1,β-α+1; 1/x)
が出るが、ここから 2F1 をマクローリン展開して得られる
6 個の級数は、上から 2 個ずつ
x=0, x=1, x=∞ の近傍でのみ収束し、
そのペアで、各領域での解空間の基底となる。
(解析接続すると、一次独立なものは、2 個。)

…受け売り。私の計算は、正直、追いついていません。
"クンマーの変換" よりも "クンマーの関数等式" で
検索したほうがよかったかも。

回答No.3

alice_44

"超幾何微分方程式 クンマーの変換" で google.

お礼

ご回答ありがとうございます。
クンマーの変換というものがあるのですね。また一つ勉強になりました。
ご教示いただいたもののクンマーの変換は

Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝(1-x)^(γ-αーβ)Ｆ（γ－α，γ－β，γ：ｘ）
Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝(1-x)^(-α)Ｆ（α，γ－β，γ：ｘ／（１－ｘ））

でしょうか？
この方程式を使用して頑張って変換しようとしましたが、

2F1(1-a, 0, 1; x/b)→2F1(-a, -a; 1-a; b/x)

とはいきませんね（＾＾；
少なくとも最後の引数　x/b→b/x　と逆数になるような変換はできそうにありません。

引き続きアドバイス頂ければ幸いです。

回答No.2

alice_44

x(x-b)(d^2y/dx^2)+{(-a+2)x-b}(dy/dx)=0
を x=bz で置換すれば、
z(1-z)(d^2y/dz^2)+{1+(a-2)z}(dy/dz)=0
となる。これって、
z(1-z)(d^2y/dz^2)+{γ+(a-2)z}(dy/dz)+αβy=0,
α=1-a, β=0, γ=1
ってことじゃない？
y = (c_1) 2F1(1-a, 0, 1; x/b)
でいいような気がするけど…

お礼

ご回答ありがとうございます。
すいません。自分の思慮が足りなく、助かります。
質問ばかりで申し訳ありませんが本結果から、

{ (x-b)^a/ab }{ 1 - (1-b/x)^-a 2F1(-a, -a; 1-a; b/x) }

の解になるには、少なくとも　2F1(1-a, 0, 1; x/b)→2F1(-a, -a; 1-a; b/x)

の変換が必要になると思いますが、式をいじくってもできそうにありません。

どのようにすれば解を導けるでしょうか。

ご教示いただければ幸いです。

回答No.1

alice_44

y = ∫{ (x-b)^(a-1)}/x }dx
なら、
y' = (x-b)^(a-1)/x,
y'' = (x-b)^(a-2){(a-1)x-(x-b)}/x^2.

両方式から (x-b)^(a-2) を消去すると、
x(x-b)y'' + {(-a+2)x-b}y' + 0y = 0.
これって、超幾何微分方程式でしょ。

変数変換でうまく係数を調整したら、
ガウス型にならないかな。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ガウスの微分方程式
x(1-x)y"+{γ-(α+β+1)x}y'+αβy=0
ですね。
この場合の一般解はy=c_1 2F1(α,β,γ;x)+c_2 x^(1-γ) 2F1(α+1-γ,β+1-γ,2-γ;x)
ですね。
ｂが１なら良いのですが、、、がんばってみましたが変数変換できそうにありません。

試しにｙ＝Σ[k=0-∞] c_k x^(r+k)とおいて解を探そうとしましたが、複雑になりすぎて
私には導けませんでした。

うまい変数変換の方法がありましたらご教示ください。

不完全β積分を使って超幾何関数へ一般化する方法を前回ご提案頂きましたが、
定積分範囲が0→1で定義されているβ関数からΓ関数へ変換するところで躓いてしまいました。

もしこちらから導ける場合は、その方法でも良いです。
引き続きご教示いただければ幸いです。