微分方程式が解けません・・・。

質問

f（x）＝x｛df（x）/dx｝－ax^n
です。f(x)の一般解がわかりません。
a,nは定数です。
よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

この微分方程式は、同次形と呼ばれるもので、ｙ＝ｘｕとして変数変換を行い、通常は変数分離形に持ち込むのが常套手段です。（この方程式の場合は、変数分離を使わずに積分できますが。）

　f(x)＝ｙとおきますと、次のように整理できます。
　　ｙ＝xy'－ax^n
　　y/x＝y'－ax^(n-1)　　←ｙ’、y/xとｘだけで表せますので同次形です。

　ここで、ｙ＝ｘｕとおきますと、ｙ’＝ｕ＋ｘｕ’ですので、これを代入しますと、次のように整理できます。
　　ｕ＝u+xu'－ax^(n-1)
　∴u'＝ax^(n-2)

　これでこの式の右辺はｘだけの式ですので、ｕ’は簡単に積分できます。
　ここで、ｎについて場合分けして積分しますと、ｕを次のように求めることができます。
　　ｕ＝a/(n-1) x^(n-1)＋Ｃ　　（ｎ≠１のとき）
　　ｕ＝a log|x|＋Ｃ　　　　　　（ｎ＝１のとき）

　したがって、ｙ＝ｘｕでしたから、この式に求めたｕを代入して次の一般解を得ることができます。
　　ｙ＝a/(n-1) x^n＋Ｃx　 　　　（ｎ≠１のとき）
　　ｙ＝ax log|x|＋Ｃx　　　　　　（ｎ＝１のとき）

お礼

ありがとうございます。
ものすごく助かりました。

回答No.3

barao

教科書は調べましたか？
この問題は微分方程式の教科書を見れば必ず載ってる代表的な形の微分方程式です。
ググっても証明を載せているサイトは簡単に見つかるはずです。
これからは最低限そこまではやりましょうね。

回答No.1

rabbit_cat

線形１階微分方程式の解き方は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node13.html
ここらへんを参照。