ライプニッツの公式を用いた問題

質問

教えていただきたいです。お願いします。
1，2はあっているかわかりませんが、自力で答えが出せました。アドバイスください。

f(x)=Sin^-1とおく。
1.(1-x^2)f"(x)-xf'(x)を計算せよ。

Ans.0

2.1で求めた結果の等式の両辺をｎ回微分したのちx=0とすることによって、f^(n+2)(0)とf^(0)との間に成立する関係を答えよ。

Ans.f^(n+2)(0)+n(n-2)f^(n)(0)=0　（ライプニッツの公式使いました。）

3.f^(n)(0)を求めよ。

回答No.3

info22

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4372848.html
とダブル投稿ですね。

上記の質問のA#2に解答を書いておきました。
そこでの回答とダブりますが。
1.
Ans.0
解答どおりで○。

２．
> Ans.f^(n+2)(0)+n(n-2)f^(n)(0)=0　
間違い。
前の質問で回答済みで
f^(n+2)(0)=0 (n:偶数,n≧0)
f^(n+2)(0)=n^2*...*7^2*5^2*3^2*f'(0)={(n-2)!!}^2f'(0)(n:奇数,n≧1)

３．
前の質問で回答済みで
f^(n)(0)=0(n=2m,m≧1)
f^(n)(0)={(2m-1)(2m-3)*...*3)}^2 ={(n-2)!!}^2 ((n=2m+1,m≧1)

なお、k!!は二重階乗です。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000%2e%93%c1%8e%ea%8a%d6%90%94%2f07000300%2e%93%f1%8fd%8aK%8f%e6%2f10000200%2e%93%f1%8fd%8aK%8f%e6%81i%95%5c%81j%2fdefault%2exml
(2k-1)!!=Π[i=1,k] (2i-1)
(2k)!!=Π[i=1.k] (2i)
Π[i=1,m] i =m!　Πは積を表す記号です。

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、訂正です。

> a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。
> 特にa_1 = 1の場合、a_n = n!です。

正しくはこうです。

a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。
特にa_1 = 1の場合、a_n = (n - 1)!です。

失礼しました。

回答No.1

R_Earl

> Ans.f^(n+2)(0)+n(n-2)f^(n)(0)=0　（ライプニッツの公式使いました。）

私はf^(n+2)(0) - (n^2)f^(n)(0)=0となりました。

(1 - x^2)f''(x)のn階微分が
(1 - x^2)f^(n+2)(x) - 2nxf^(n+1)(x) - (n^2 - n)f^(n)(x)
=(1 - x^2)f^(n+2)(x) - 2nxf^(n+1)(x) - (n^2)f^(n)(x) + nf^(n)(x)
xf'(x)のn階微分が
xf^(n+1)(x) + nf^(n)(x)
となったので、引き算するとnf^(n)(x)が消えると思います。

> 3.f^(n)(0)を求めよ。

片方を右辺に移項して、f^(n+2)(0) = (n^2)f^(n)(0)
f^(n)(0) = a_nと考えれば(a_nは数列)、この等式は

a_(n+2) = (n^2)a_n

という漸化式です。

a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。
特にa_1 = 1の場合、a_n = n!です。
それを利用すれば、a_(n+2) = (n^2)a_nという漸化式の一般項も求められるはずです。