ｎ次導関数

質問

x^n/(x+1)のｎ次の導関数が求まりません。

ライプニッツの公式を使って
n!/(x+1)^(n+1) × (x+1)^n
×Σ(k=0 n) nＣk(-x)^k/(x+1)^k
とまではなったのですが、
Ｃが邪魔でそこからの展開が
上手くいきません。

帰納法で表す事も考えたのですが、
式の中にnがあって、
応用の利かない僕には無理でした。

誰か解き方を教えて下さい、
助けて下さい、お願いします。

回答No.1

nag0720

x^n/(x+1)=(x+1-1)^n/(x+1)
=Σ[k=0・・・n]nCk×(x+1)^k×(-1)^(n-k)/(x+1)
=(-1)^n/(x+1)+Σ[k=1・・・n]nCk×(x+1)^(k-1)×(-1)^(n-k)

Σの中の項はすべて(n-1)乗以下なので、n階微分は0になります。

(-1)^n/(x+1)のn階微分は、n!/(x+1)^(n+1)

お礼

ありがとうございました。
Cの展開方法が分かりました。