積分・・・数列？？

質問

この後、小問がいくつか続くのですが、まったく手がつかずどうしようもないので、アプローチの方法等を教えていただきたくて質問しました。私はｆn(ｘ)とfn+1(ｘ)で漸化式を立てましたが、できず。
fn(ｘ)のｎ階微分がlogｘであると考えやってみましたが、無理でした＾＾；問題(一部)は以下のとおりです。

自然数ｎに対してfn(ｘ)(ｘ＞０)を次のように定める。
ｆ1(ｘ)＝∫(インテブラルの１～ｘ)logt dt
fn+1(ｘ)＝∫(インテブラルの１～ｘ)fn(ｘ)
このとき極限An=lim(ｘ→∞)ｆｎ(ｘ)／(ｘ^n・logｘ)の値をｎで表せ。
以下略

よろしくお願いいたします。

回答No.1

alkantala · ベストアンサー

数列を求めるために有効な方法の一つは最初の幾つかを
実際に計算してみて予測を立てることです。

まず f_1(x) を計算してみると
log t = t' log t と考えて部分積分を用いる事により
f_1(x) = x log x - x + 1

次に f_2(x) を計算してみると
t log t = (t^2/2)' log t と考えて部分積分を用いる事により
f_2(x) = (x^2/2) log x - (3/4) x^2 + x - (1/4)

次に f_3(x) を計算してみると
t^2 log t = (t^3/3) log t と考えて部分積分を用いる事により
f_3(x) = (x^3/(2*3)) log x + (３次式)

ちなみに f_4(x) を計算すると
f_4(x) = (x^4/(2*3*4)) log x +（４次式）

これらの計算から
☆ f_n(x) = (x^n/n!) log x + （ｎ次式）
と予測できます。　

☆ がｎ=1,2,3で成り立つ事は計算済みです.
☆ を仮定すると ☆ の式を
x^n log x = x^{n+1}/(n+1) log x
と考えて 1 から x まで部分積分する事により
f_{n+1}(x) = (x^{n+1}/(n+1)!) log x + （(n+1)次式）
となりますから, 数学的帰納法により
１以上の全ての n に対して ☆ が成り立ちます.

さて ☆　から
f_n(x)/(x^n log x) = 1/n! + (n次式)/(x^n log x)
で, 分母の方が log x の分大きいですから
lim_{x → ∞}(n次式)/(x^n log x) = 0
です。

以上から　
lim_{x → ∞}f_n(x)/(x^n log x) = 1/n!
です。

という事で、方針をまとめると
１．小さい n について実際に計算する
２．予測を立てる
３．数学的帰納法でそれを証明する
となります。
f_1 からはじまって f_{n+1} を f_n を用いて定義する事
を繰り返して 数列・関数列を定義していく方法を
「帰納的定義」と言います。帰納的定義で設定されている問題に
対しては１２３の流れが王道の一つです。

回答No.2

endlessriver

＃１のかたのと逆の方法も使えるような？
logxは単調増加だからf1(x)→∞。順次fn(x)→∞。
したがってAnにはロピタルの定理が使えます。
(ｘ^n・logｘ)のn回微分はライプニッツの公式を使って計算すると
定数+n!logxになります。