数学の問題の解答をお願いします。

質問

f_i(x)=(1/√π)cosix, -π≦x≦π
は規格直交関数系であることを示せ。

解答をお願いします。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

<f_i, f_j>=（1/π)∫(-π→π)cosix*cosjxdx・・・(1)
もしi=jならば
<f_i, f_j>=(1/π)∫(-π→π）｛（1+cos2ix)/2}dx=(1/π)[(1/2)x+(1/4i)sin2ix](-π→π)
=(1/π){(1/2)ｘ2π+(1/4i)sin2iπ+(1/4i)sin2iπ}=(1/π)π=1
もしi≠jならば
<f_i, f_j>=(1/π)∫(-π→π)cosixcosjxdx
=(1/π)∫(-π→π)cos{(i+j)x/2+(i-j)x/2}cos{(i+j)x/2-(i-j)x/2}dx
=(1/π)∫(-π→π)[cos((i+j)x/2)cos((i-j)x/2)-sin((i+j)x/2)sin((i-j)x/2][cos((i+j)x/2)cos((i-j)x/2)+sin((i+j)x/2)sin((i-j)x/2)]dx
=(1/π)∫(-π→π)[cos^2((i+j)x/2)cos^2((i-j)x/2)-sin^2((i+j)sin^2((i-j)x/2]dx
=(1/π)∫(-π→π)[cos^2((i+j)x/2)cos^2((i-j)x/2)-(1-cos^2((i+j)x/2))(1-cos^2((i-j)x/2)]
=(1/π)∫(-π→π){cos^2((i+j)x/2)cos^2((i-j)x/2)-1+cos^2((i+j)/2)+cos^2((i-j)x/2)-cos^2((i+j)x/2)cos^2((i-j)x/2)}dx・・・(2)
(2)の積分する関数はゼロになるので
<f_i, f_j>=0
となります。以上より規格直交系です。

回答No.2

alice_44

貴方の先の質問 q8014991.html に回答した通り、
まず、貴方が想定している内積の定義を示す
ことが先決です。それあってこその直交性であり、
正規性ですからね。定義なしでは、話にならない。
大切なのは、計算上の小技ではありません。

前回回答に補足なく、再度このような
無反省な質問を投稿されていることは、
大変残念です。