ベクトルの問題です。教えてください。

質問

ＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５　の三角形ＡＢＣがある。ＢＣを直径とする半円をＢＣに関して
頂点Ａと反対側に作る。半円周上に点Ｐをとる。
ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの最大値の値は？（ベクトルは省略させていただきます。）

Ｐをどこにとって、Ｐをどうやって求めればいいのか分かりません。
詳しく教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

＞ＡＢ＝３、ＢＣ＝６、ＣＡ＝５　の三角形ＡＢＣがある。ＢＣを直径とする半円をＢＣに関して
＞ 頂点Ａと反対側に作る。半円周上に点Ｐをとる。
＞ ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの最大値の値は？（ベクトルは省略させていただきます。）
図を描いてください。
BCを直径とする半円の上に、底辺をBCとする△ABCが乗っている形です。

∠BAP＝α，∠CAP＝β　とおくと、∠A＝α＋β
AB・AP＝｜AB｜・｜AP｜・cosα
AC・AP＝｜AC｜・｜AP｜・cosβ　より、
AB・AP＋AC・AP＝｜AP｜・(｜AB｜cosα＋｜AC｜cosβ)
＝｜AP｜・(3cosα＋5cosβ）

3cosα＋5cosβの最大値を求めます。
∠A＝α＋βだから、β＝∠A－αより、
3cosα＋5cosβ＝3cosα＋5cos(A－α）
△ABCで、余弦定理より、
cosA＝(3^2＋5^2－6^2)/2・3・5＝-1/15＞-1/2　より、∠Aは鈍角で、π/2＜A＜2π/3
sin^2A＝1－(1/15^2)＝224/15^2　より、sinA＝4√14/15
加法定理より、
cos(A－α)＝cosA・cosα＋sinA・sinα
＝(-1/15)cosα＋(4√14/15)sinα
よって、
3cosα＋5cosβ
＝3cosα＋(-1/3)cosα＋(4√14/3)sinα
＝(4√14/3)sinα＋(8/3)cosα
合成の公式より、
＝4√2sin(α＋θ)

tanθ＝(8/3)/(4√14/3)＝2/√14＜1/√3より、0＜θ＜π/6
0＜α＜2π/3（　π/2＜A＜2π/3より、）
0＜α＋θ＜5π/6より、0＜sin(α＋θ)≦1　だから、
0＜4√2sin(α＋θ)≦4√2
よって、3cosα＋5cosβの最大値は、4√2
だから、さらに、
AB・AP＋AC・AP＝｜AP｜・4√2　が最大になるためには、APの長さが最大であればよい。

APの長さが最大になるときは、半円の中心（BCの中点）を通るときだから、
その時の　ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰの値を求めます。

APの長さを求める。
BCの中点をOとします。図から、OP＝3
△ABCで、余弦定理より、
cos∠B＝(3^2＋6^2－5^2)/2・3・6＝5/9
△ABOで、余弦定理より、
AO^2＝3^2＋3^2－2・3・3・cos∠B
＝9＋9－2・9・(5/9)
＝8より、　　　AO＝2√2
よって、AP＝3＋2√2
したがって、AB・AP＋AC・AP　の最大値は、
｜AP｜・4√2
＝(3＋2√2）・4√2
＝4(4＋3√2)

実は、3cosα＋5cosβの最大値を求めなくても、同じ答えになります。
上と同じようにして、AP＝3＋2√2

AB・AP＝3・(3＋2√2)・cosα
AC・AP＝5・(3＋2√2)・cosβ　より、
AB・AP＋AC・AP＝(3＋2√2)(3cosα＋5cosβ）……(1)

△BPCは、∠BPCが直径上の円周角になるから、90°で、
直角三角形だから、BP^2＋CP^2＝6^2　……(2)

△ABPで、余弦定理より、
BP^2＝3^2＋(3＋2√2)^2－2・3・(3＋2√2)・cosα
△ACPで、余弦定理より、
CP^2＝5^2＋(3＋2√2)^2－2・5・(3＋2√2)・cosβ
(2)に代入して整理すると、
2・(3＋2√2)・(3cosα＋5cosβ)＝2・(3＋2√2)^2－2　より、
(3＋2√2)・(3cosα＋5cosβ)＝(3＋2√2)^2－1
＝16＋12√2
＝4(4＋3√2)
これを(1)に代入すると、
よって、AB・AP＋AC・AP＝4(4＋3√2)

3cosα＋5cosβの値には関係なく、APの長さが最大であれば、
最大値をとるようです。

図を描いて確認してみてください。

お礼

毎回丁寧な解説ありがとうございます！
とても分かりやすくて助かりました。

回答No.5

noname#199771

＞#3

BCの中点をDとしたときDPの長さは一定です。
したがって向きが同じときに内積は最大です。
Aを起点としてはいけない。

回答No.3

htms42

ＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰ＝(ＡＢ＋ＡＣ)・ＡＰ

ＡＢ＋ＡＣはＡＢ，ＡＣを２辺とする平行四辺形ＡＢＣＡ’の対角線ＡＡ’です。
この対角線ＡＡ’はＢＣの中点（半円の中心）を通ります。
∠ＢＡＣ＞９０°ですからＡ’は半円の内側にあります。ＡＡ’＜６です。
ＡＡ'の延長線と半円の円周との交点をＱとします。
ＡＱが円の中心を通るということから　ＡＰ≦ＡＱ　が成り立ちます。
ＰからＡＱに垂線ＰＨを下します。
ＡＨ≦ＡＱです。
ＡＨ＝ＡＰｃｏｓ∠ＰＡＨですから　
ＡＡ’・ＡＰ＝ＡＡ’・ＡＨ≦ＡＡ’・ＡＱ
これでＰがＱに一致する時に内積が最大であるということが言えます。
（ＡＡ’の長さは一定ですがＡＰの長さは変わります。したがってＡＰとＡＡ’が平行の時に内積は最大だといきなり言うことはできません。「ＡＡ’が円の中心を通る」というところがポイントです。）

回答No.2

info22_

>Ｐをどこにとって、Ｐをどうやって求めればいいのか分かりません。

国語の読解力の問題でしょう。よく読めば分かるはず。

BC=6を底辺（X軸上）として上側（Y軸正側）に頂点AがくるようにAB=3,CA=5の△ABCを描きます。
BC=6を直径（半径は3、原点を円の中心にとる)とする半円を辺BCの下側（頂点Aと反対側、Y軸負側）に描きます。
半円周上の適当な位置に点Pをとれば良いだけです。
例えば添付図のP'の位置。Pは半円円周BC上のどこかに存在する。

座標で書くと
A(a,b).B(-3,0),C(3,0),P(x,y)(y≦0,b>0)
とすると

辺BA=3=√((a+3)^2+b^2) → 9=(a+3)^2+b^2 ...(1)
辺CA=5=√((a-3)^2+b^2) → 25=(a-3)^2+b^2 ...(2)
(2)-(1)より
　16=-12a ∴ a=-4/3
(1)より
　b^2=9-(5/3)^2=56/9 ∴ b=2√14/3

AB↑・AP↑+AC↑・AP↑
={(-3,0)-(a,b)}・{(x,y)-(a,b)}
+{(3,0)-(a,b)}・{(x,y)-(a,b)}
=(-3-a,-b)・(x-a,y-b )+(3-a,-b)・(x-a,y-b )
=-(3+a)(x-a)-b(y-b)+(3-a)(x-a)-b(y-b)
=-2a(x-a)-2b(y-b)
=-2(ax+by)+2(a^2+b^2)
a,bを代入
=4(2x-√14y)/3 +16
=(8/3)x-(4/3)√14y+16
=kとおく。

8x-4√14y+48-3k=0 ...(3)
P(x,y)は中心O(0,0),半径3の下半分の円周上の点(y≦0)だから
　x^2+y^2=9 (y≦0)　...(4)
(3)は直線の方程式なので(3)と(4)が
交点を持つkの範囲を求めればよい。
グラフ的に求めると
　8≦k≦16+12√2
（このkの範囲に対して(3)の直線が添付図の水色で塗り潰した範囲内にある。）
kの最大値が求める最大値なので
最大値=16+12√2
この時のP(x,y)は(3)と(4)が接する時（図参照）
でx=√2,y=-√7の時となります。

回答No.1

noname#199771

BCの中点をDとおくと、DはPが動く半円の中心になります。

Dを使ってＡＢ・ＡＰ＋ＡＣ・ＡＰを計算してみてください。

２つのベクトルの向きが等しいときにそれらの内積が最大になることから、
最大値を取るのはPがADの延長線上にあるときになることがわかります。