外接円がらみの内積の問題

質問

三角形△ABCにおいて、AB＝5、BC=7、CA=3、ABベクトル・ACベクトル＝－15/2とする。
この三角形の外接円の中心をPとする。
このときAPベクトル・ACベクトルを求めよ。
またそこで、APベクトル＝ｍABベクトル＋ｎACベクトルと表すときのｍ、ｎを求めよ。

分かりそうなんですがABベクトル・ACベクトル＝－15/2の条件の使い方が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

tecchan22 · ベストアンサー

ちょっと書き方が悪かったですかね。

両辺とＡＢ↑との内積をとって、上式が、
両辺とＡＣ↑との内積をとって、下式がでる、ということです。

詳しく言うと、
上式のほうは、
ＡＰ↑・ＡＢ↑＝（ｍＡＢ↑＋ｎＡＣ↑）・ＡＢ↑
分配法則から、
ＡＰ↑・ＡＢ↑＝ｍＡＢ↑・ＡＢ↑＋ｎＡＣ↑・ＡＢ↑
これに数値をあてはめて、
２５／２＝２５ｍ＋（－１５／２）ｎ
を得ます。

下式も同様。

しかし、これは＃４さんと同じですよ。＃４さんの回答は理解したのではなかったんですか？

お礼

言われてみて初めて＃４さんの回答と同じだと気付きました。
簡単なことを質問してしまいすいませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.5

tecchan22

皆さんの解き方と余り変わらないでしょうが。

Ｐから辺ＡＢ,ＡＣに垂線を下ろすと、その足は各辺の中点Ｍ,Ｎになる。

よって、ＡＰ↑・ＡＣ↑＝ＡＰ×ＡＣ×cos∠ＰＡＣ＝（ＡＰcos∠ＰＡＣ）×ＡＣ＝ＡＮ×ＡＣ＝９／２

同様に、ＡＰ↑・ＡＢ↑＝ＡＭ×ＡＢ＝２５／２

そこで、ＡＰ↑＝ｍＡＢ↑＋ｎＡＣ↑とおいたとき、この両辺とＡＢ↑,ＡＣ↑との内積をとって、

２５／２＝２５ｍ－（１５／２）ｎ
９／２＝－（１５／２）ｍ＋９ｎ

整理して、
１０ｍ－３ｎ＝５
－５ｍ＋６ｎ＝３

これを解いてｍ＝１３／１５,ｎ＝１１／９
となります。

最後の方の計算は余計だったでしょうが、一応最後まで解いておきました。

最初の内積の計算の仕方、ＡＰ↑・ＡＣ↑＝ＡＮ×ＡＣ
という内積の図形的な見方が、重要だと思います。（それを使わなくても解けますが）

それを確認するのが一つ目の目的でありポイント。
内積の分配法則を利用するところが、二つ目のポイントでしょう。

補足

>そこで、ＡＰ↑＝ｍＡＢ↑＋ｎＡＣ↑とおいたとき、この両辺とＡＢ↑,ＡＣ↑との内積をとって、

>２５／２＝２５ｍ－（１５／２）ｎ
>９／２＝－（１５／２）ｍ＋９ｎ

どうしてこのように導けるのかわかりません。そこのところをもう少し詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

noname#47894

>　ABベクトル・ACベクトル＝－15/2の条件の使い方が分かりません。

とのことですので、その線に沿って解きます（cosA　を求めずにやってみます。計算量は少ないです）。

三角形の外心は、各辺の垂直２等分線の交点であることは知っていますね？
（もしわからなければ、平面幾何を復習してみてください）

よって、ACの中点をMとすると、AC⊥PM　のはずです。

よって、AC(→)・PM（→）＝０
です。
あとは、AM(→)＝１／２AC（→）、PM（→）＝AM（→）－AP（→）　を使うだけです（なお、使った条件はCA=3のみで、内積の条件はまだ使っていません）。

同じ方法で、AP(→)・AB（→）も求めておきます（次の問題で使います）。

AP（→）＝ｍAB（→）＋ｎAC（→）については、
両辺をAC（→）と内積を取ることで、
AP（→）・AC（→）＝ｍAB（→）・AC（→）＋ｎAC（→）・AC（→）
全て、内積が既知なので、m、nに関する方程式が立てられます。

同様に、両辺をAB（→）と内積を取ることで、
AP（→）・AB（→）＝ｍAB（→）・AB（→）＋ｎAC（→）・AB（→）
これで、ｍ、ｎの連立方程式にもちこめます。
AP(→)・AB（→）を求めておく理由が、分かりましたでしょうか。

No.3さんがおっしゃるように、条件が過剰な問題ですね。
ベクトル計算重視で、解かせるならば、BC=7は不要です。

お礼

そういう解き方もあるんですね。
新しい考え方を教えていただきありがとうございました。

回答No.3

nettiw

↑AB・↑AC=(-15/2 )なる条件は不要。
出題が親切と言うより、失題。

また∠Aの値は、慣れていれば計算せずとも判る。
　　　　　　　３
　　　　▽△▽△▽
・　　　３　▽△▽３
　　　　　　　▽
　　　　　　　△
・　　７　　△▽△　　　７
　　　　△▽△▽△
　　５△▽△▽△▽△５
・　△▽△▽△▽△▽△
　　　　　　　　５

余弦定理で、
cos(∠A)=(25+9-49)/(2*3*5)=(-1/2)
∠A=120度

内積の定義で、
↑AB・↑AC=3*5*(-1/2)=(-15/2 )と算出できる。

>>この三角形の外接円の中心をPとする。
>>↑AP・↑ACベクトルを求めよ。

正弦定理で、
2R=7/(sin120度)=7*(2/√3)
R=7/√3
|↑AP|=|↑BP|=|↑CP|=(7/√3)

↑AP・↑AC
=|↑AP||↑AC|cos(∠PAC)
=(7/√3)*3*{ {(49/3)+9-(49/3)}/{2*(7/√3)*3} }
=(7/√3)*3*(3√3/14)
=(9/2)

↑AP=m↑AB+n↑AC
|↑AP|^2=|m↑AB+n↑AC|^2
(49/3)=25(m^2)+2mn*(-15/2 )+9(n^2)
(49/3)=25(m^2)-15mn+9(n^2)・・・Ｐ

↑AP=m↑AB+n↑AC
m↑AB=↑AP-n↑AC
|m↑AB|^2=|↑AP-n↑AC|^2
25(m^2)=(49/3)-2n(↑AP・↑AC)+9(n^2)
25(m^2)=(49/3)-2(9/2)n+9(n^2)
25(m^2)=(49/3)-9n+9(n^2)・・・Ｑ

Ｐ、Ｑの辺々を加えて、
0=-15mn-9n+18(n^2) ・・・n≠0(説明省略)
0=-15m-9+18n
0=-5m-3+6n
{(5m+3)/6}=n
これをＱに代入して、
25(m^2)=(49/3)-9{(5m+3)/6}+9{ {(5m+3)/6}^2 }
25(m^2)=(49/3)-(3/2)(5m+3)+(1/4){ (5m+3)^2 }
300(m^2)=196-18(5m+3)+3{ (5m+3)^2 }
300(m^2)=196-18(5m+3)+3{25(m^2)+30m+9 }
300(m^2)=196-90m-54+75(m^2)+90m+27
225(m^2)=196-54+27
225(m^2)=169
m=(13/15),(-13/15)・・・不適(説明省略)
n={(13/3)+3}/6=22/18=(11/9)

↑AP=(13/15)↑AB+(11/9)↑AC

お礼

∠Aの値が計算しなくてもわかるというのはとても勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22

(AB↑)・(AC↑)=|AB|*|AC|*cosA=5*3*cosA=15*cosA=-15/2
cosA=-1/2 ∴∠A=120°

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Kules

＞分かりそうなんですがABベクトル・ACベクトル＝－15/2の条件の使い方が分かりません。
今のところどういう方針で行くつもりかお書きください。

内積ですが、余弦定理からcosAを求めてしまえば使わなくても解けそうですが、それもまためんどくさいので内積を使いましょう、といった感じでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。
APベクトル＝ｍABベクトル＋ｎACベクトルと表すときのｍ、ｎを求めてから、APベクトル・ACベクトルを求めるやり方ならできそうだったのですが、問題の順番通りにやるやり方がわかりませんでした。