ベクトルの問題です。教えてください！

質問

三角形ABCがあり、AB=AC=√３、cosA=２/３である。辺BCの中点をDとする。
辺ABを２；１に内分する点をEとし、線分ADを直径とする円をKとする。
直線DEとKの交点のうち、D以外の点をFとする。点PがK上をうごくとき、
内積AF・APの取りうる値の範囲を求めよ。
（ベクトルは省略させていただきます）

どうやって考えたらいいのか分かりません。
詳しく教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

円の中心をO
円の半径をr
∠AOF=α
∠AOP=θ
とすると、
(AF・AP)=(OF-OA・OP-OA)
=(OF・OP)-(OA・OP)-(OF・OA)+(OA・OA)
=r^2(cos(α-θ)-cosθ-cosα+1)
=r^2(-2sin(α/2)sin(α/2-θ)-cosα+1)
となる。
sin(α/2)＞0　だから、
θ=α/2+π/2　のとき、最大値　r^2(2sin(α/2)-cosα+1)
θ=α/2-π/2　のとき、最小値　r^2(-2sin(α/2)-cosα+1)

あとは、rとαが分かればいい。

rは、余弦定理でBCを求めてから、ADを計算すればいい。
αは、△ADEで正弦定理を使って∠ADEの求めれば、α=∠ADE×2となる。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます！
自分でもやってみたいと思います！！

回答No.2

USB99

どこか計算間違いしているとは思うが．．．

余弦定理よりBC^2＝AB^2＋AC^2－2・AB・AC・cosA＝２　よってBC=√2
△ADBは直角三角形だから、AD^2=AB^2－（BC/2）^2＝5/2　よって
円の半径ｒ=AD/2＝√10 /4

今、点Aを（0,2ｒ）、B（√2/2、0)、C（－√2/2、0)とすると、
点Dは原点になる。

この座標系で円Ｋ上の点Ｐは（rcosθ、r+rsinθ）と表せる。
よって、ベクトルAP＝OP-OA＝（r cosθ, r sinθーr）とかける
点Fの座標を（Xf,Yf）とすると、
　　　　ベクトルAF＝OP-OA＝（Xf、Yf－2r）とかける。
よって、AP・AF＝ｒ（Xf cosθ＋（Yf-2r)・sinθー（Yf－2r))
　　　＝ｒ（√（Xf^2＋（Yf-2r)^2） sin（θ＋α）ーYf＋2r）
sin（θ＋α）は-1～１の範囲をとるから
　　　ｒ・（√（　　）－Yf+2ｒ）が最大値　　　...<1>
　　　ｒ・（ー√（　　）－Yf＋2r）が最小値　　...<2>

Xf、Yfを求める。
円Kの方程式はX^2＋（Y-r）^2＝ｒ^2..(1)
直線OFのベクトルの一つは、ベクトルOAとベクトルOBを２：１に内分するから
　　OA＋2OB＝（√２、２ｒ）とかける。よって、直線OFの傾きは２ｒ／√２＝ｒ√２
　　すなわちY=ｒ√2 X　　．．(2)
　　これを(1)に代入
　　X^2＋（r√2X－r）^2=ｒ^2
　　X^2＋ｒ^2・2・X^2　－　2・r^2・√2・X＝０
X＝０はXfの解ではないから
　　（１＋ｒ^2・2）・Xf＝２・ｒ^2・√２
　　　r=√10 /4と定義したから
　　　Xf＝5√2/13　(2)より　Yf=5√10/26

　　　どこか間違ってそう。間違っていなければあとは<1><2>に代入、
　　　努力あるのみ