ベクトルの問題です。

質問

AB＝5,AC＝2,角BAC＝60°の△ABCの頂点Cから底辺ABに
垂線CHを下ろしたものがある。
次の内積を求めよ。

(1)ABベクトル・ACベクトル

(2)ACベクトル・CHベクトル

(3)ABベクトル・CHベクトル

(4)BAベクトル・BCベクトル

解説お願いします！

回答No.4

noname#222910

各点を便宜的に次のように設定します。
A=(0,0)、B=(5,0)、C=(2cos60°,2sin60°)=(1,√3）、H=(2cos60°,0)=(1,0)

(1)
ABベクトル=(5-0,0-0)=(5,0)
ACベクトル=(1-0,√3-0)=(1,√3)
よって、ABベクトル・ACベクトル=5*1+0*√3=5

(2)
CHベクトル=(1,0)-(1,√3)=(0,-√3)
よって、ACベクトル・CHベクトル=1*0+(√3)*(-√3)=-3

(3)
ABベクトル・CHベクトル=5*0+0*(-√3)=0（垂直）

(4)
BAベクトル=-ABベクトル=(-5,0)
BCベクトル=ACベクトル-ABベクトル=(1,√3)-(5,0)=(-4,√3)
よって、BAベクトル・BCベクトル=(-5)*(-4)+0*√3=20

回答No.3

info222_

AB＝5, AC＝2, ∠BAC＝60°, CH⊥AB
∠ACH=30°
AH=ACcos60°=1, CH=ACsin60°=√3
BH=AB - AH=5-1=4
BC=√(BH^2+CH^2) =√ (16+3)=√19
△ABCの頂点Cから底辺ABに
垂線CH
(1)
ABベクトル・ACベクトル
=5*2 cos60° =5 ... (Ans.)

(2)ACベクトル・CHベクトル
= - CAベクトル・CHベクトル
= - 2*√3 cos30° = - 3 ... (Ans.)

(3)ABベクトル・CHベクトル
=0 ... (Ans.)
(∵CH⊥AB)

(4)BAベクトル・BCベクトル
= AB*BC cos∠CBH =(AB*BC) *(BH/BC)=AB*BH=5 * 4 = 20 ... (Ans)

回答No.2

noname#222880

基本的な考え方は、全てのベクトルを、始点が等しいABベクトルとACベクトルを用いて表すことです。

(1)
ABベクトル・ACベクトル
=5*2*cos60°
=5

(2)
ACベクトル・CHベクトル
=ACベクトル・(AHベクトル-ACベクトル)
=ACベクトル・(ABベクトル*2*cos60°/5-ACベクトル)
=(ABベクトル・ACベクトル)/5-ACベクトル・ACベクトル
=5/5-2^2
=1-4
=-3

(3)
ABベクトル・CHベクトル=0（垂直）
または、
ABベクトル・CHベクトル
=ABベクトル・(ABベクトル/5-ACベクトル)
=(ABベクトル・ABベクトル)/5-ABベクトル・ACベクトル
=5^2/5-5
=5-5
=0

(4)
BAベクトル・BCベクトル
=BAベクトル・（BAベクトル+ACベクトル）
=BAベクトル・BAベクトル+BAベクトル・ACベクトル
=BAベクトル・BAベクトル-ABベクトル・ACベクトル
=5^2-5
=25-5
=20

※BAベクトル=-ABベクトル、BAベクトル・BAベクトル=ABベクトル・ABベクトル=5^2=25です。

回答No.1

asuncion

添付のような三角形になるので、
AB・AC = 5・2cos60° = 5
AC・CH = 2・√3 ・cos30° = 3
AB・CH = 0（ABとCHは直交しているから内積は0）
BA・BC = 5・√19 / 4