ベクトルの問題

質問

この問題がわからないのでどなたか教えてください。

平面上に，１辺の長さがａの正三角形ＡＢＣと点Ｐがある。点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐの位置ベクトルをそれぞれａ→，ｂ→，ｃ→，ｐ→とし，点Ｐは
３ｐ→＝（１＋ｔ）ａ→＋（１＋２ｔ）ｂ→＋（１－３ｔ）ｃ→（ｔは実数）という関係を保って動く。

（１）動点Ｐの軌跡はベクトル（ア）に平行な直線である。

（２）ＡＰ→をＡＢ→，ＡＣ→を使って表すと
　　　ＡＰ→＝（イ）ＡＢ→＋（ウ）ＡＣ→
　　　となる。ＡＰ//ＢＣとなるのは，ｔ＝（エ）のときで，このとき，４点Ａ，
　　　Ｂ，Ｃ，Ｐが作る台形の面積は（オ）である。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

問題では正三角形の1辺の長さはａとなっていますが点Ａの位置ベクトルａ→と
紛らわしいので回答ではｒと書きます。

（１）Ｐの従う式を変形すると
ｐ→ ＝ｔ（ａ→＋２ｂ→－３ｃ→）/ ３ ＋ （ａ→＋ｂ→＋ｃ→）/ ３ ……(*)
となります。
すなわちｐ→はベクトル （ａ→＋２ｂ→－３ｃ→）/ ３ に平行で
点 （ａ→＋ｂ→＋ｃ→）/ ３ を通る直線です。

（２）ＡＰ→ ＝ ｐ→ － ａ→ 、ＡＢ→ ＝ ｂ→ － ａ→ 、ＡＣ→ ＝ ｃ→ － ａ→
ですから上の式(*)の両辺から ａ→ を引いて 式を変形すると
ＡＰ→ ＝ ｐ→ － ａ→
＝｛（1＋２ｔ）/３}（ｂ→ － ａ→） ＋ ｛（1 － ３ｔ）｝/３（ｃ→ － ａ→） …… (**)
＝ ｛（1＋２ｔ）/３｝ ＡＢ→ ＋ ｛（1 － ３ｔ）｝/３ ＡＣ→
となります。

ＡＰ//ＢＣとなるのは，ある実数ｋに対して
ＡＰ ＝ ｋ ＢＣ ＝ ｋ（ｂ→ － ｃ→ ） となる場合です。そこで(**)の式で
ａ→が０になるようにｔを決めてやるとｔ＝２ のときうまくこの形になって
ｋ＝ ５/３となります。

つまり線分ＡＰの長さは線分ＢＣの長さの ５/３倍ですから （５ｒ）/３ です
今線分ＡＰと線分ＢＣは平行ですからあとは ＡＰとＢＣの距離、すなわち
下底ＢＣ上底ＡＰとする台形の高さ がわかればよいですね。
これは正三角形の頂点Ａから底辺ＢＣに引いた垂線の長さですから
（ｒ√３）/２ です。
よって台形ＢＣＰＡの面積は （２ｒ^2 √３）/３ となります。
（ｒ^2 はｒの２乗のことです）
細部の計算は御自分でチェックして下さい。

お礼

詳しい解説をどうもありがとうございました☆

回答No.3

alien55

再びalien55です。うーーーーーん。一番乗りを目指したがちょっと遅すぎたか・・・・・！！
oodaikoさん（専門家）のと本質的に変わらなっかので、安心しました。
私のはm,nをおきましたが、oodaikoさんは、AP=の式をそのまま変形しています（(**）のところ）。もちろんこの方が
エレガントだと思いますよ。APをABとACの一次結合で表せって言ってんだから、そのように変形していくのが一番賢い
ですよね。私の方はベクトルを学んでまもない頃の「高校生向き」かな？

回答No.2

alien55

以下でa,b,c,p,AB,AC,AP,BC等はベクトルです。上に→を付けてね。また正三角形の一辺の長さはここでは大文字のAとしました。
（ア）は色々な答えが可能です。
[解答]
（１）与えられた式3p=(1+t)a+(1+2t)b+(1-3t)cを変形して、
　　　　　　p=1/3(a+b+c)+1/3(a+2b-3c)t
これは、動点Pが三角形ABCの重心を通り、ベクトル1/3(a+2b-3c)に平行な直線上を動くことを示す。
（２）AP＝mAB+nAC・・・・(*)とする。すなわち、
　　　　　p-a=m(b-a)+n(c-a) ⇔　p=(1-m-n)a+mb+nc
⇔1/3(1+t)a+1/3(1+2t)b+1/3(1-3t)c=(1-m-n)a+mb+nc
これより、係数比較して、
　　　　　　1+t=3-3m-3n・・・・(1), 1+2t=3m・・・・(2), 1-3t=3n・・・・(3)
　(2)、(3)より、
　　　　　　　　m=(1+2t)/3, n=(1-3t)/3 (→それぞれイ、ウの答え)
　また、このm,nは(1)を満たす。
　　次に、AP//BCとなるのは、適当な実数kを用いて、AP=kBC　すなわち、
　　　　AP=k(AC-AB)=-kAB+kAC
となるときだが、これと(*)より、このときｍ=-k, n=kすなわち、
　　　　　(1+2t)/3=-k, (1-3t)/3=k
である。この２式からkを消去して、
　　　　　　　1+2t+1-3t=0 ⇔　ｔ=2 (エの答)
　このとき、3p=3a+5b-5c　⇔　p-a=5/3(b-c) ⇔　AP=5/3CBだから、
　点Aを通り辺CBに平行な直線を引いたとき、その直線上のAP＝5/3CBとなる点（ただし辺ABに対し点Cとは反対側）
　が点Pの位置である（実際に書いてみてください）。
　台形ACBPの面積は線分AP、線分ACを隣り合う二辺とする平行四辺形の面積の4/3倍で、正三角形ABCの面積は
　√3/4・A^(2)なので、求める面積はこれの8/3倍。すなわち、
　2√3/3A^(2)　（←オの答え）■

以上ですが、ちょっと酔っ払いながら書いたのでどこかミスがあったら御報告下さい。
イとウは、このような穴埋め形式では表面的には問題にならないのですが、(2)と(3)から出てきたm,nが(1)をも満たす
ことが言えて、初めて答えになります。
あっそうそう、√3は「ルート3」のつもりです。

お礼

詳しい解説をどうもありがとうございました☆