楕円曲線で囲まれた面積

質問

添付画像の問題（iii）で曲線Cは次のようになりました。
x^2+4xy-10x+4y^2+5=0
最後の（vi）の問題で第一象限でしか面積を計算していないのはなぜでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

放物線の曲線Cとy=0(x軸）が囲む部分の図を添付します。
(vi)で面積Sの対象領域を水色で塗り潰してあります。
放物線ですから、下方に開いています。
従って、x軸と曲線Cが囲む領域は水色の部分しか存在しないし、しかもその部分が第１象限（境界線としてy=0の一部を含む）に存在しますので、積分も第一象限内の積分になります。

お礼

曲線Cが楕円を表すものかと思い込んでいました。わかりやすい説明ありがとうございます！すっきりしました。

回答No.1

info22_

>添付画像の問題（iii）で曲線Cは次のようになりました。
>x^2+4xy-10x+4y^2+5=0
これで合っています。

>最後の（vi）の問題で第一象限でしか面積を計算していないのはなぜでしょうか？

問題に「曲線Cとy=0とで囲まれる部分の面積S」とあります。
y=0はx軸のことだから、この囲まれる部分というのは第一象限にしか存在しません。囲まれる部分が第１象限だけにあれば、「第１象限でしか面積を計算していない」のではなく、第１象限の囲まれた部分についてだけ、積分しないといけない。ということです。

面積Vは（iv）,(v)で導出したQR=4(√5)√(1-t)を
tで0～1まで積分すれば求まります。
S=∫[0→1]4(√5)√(1-t)dt