曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

質問

次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
4ｘ＾2+2ｙ＾2=1
この問題がわかりません。
解答よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

与えられた式を変形すると
ｘ＾２／（１／２）＾２＋ｙ＾２／（１／√２）＾２＝１
となります。これは、（±１／２，０）および（０、±１／√２）を通る楕円です。計算の
便宜上、これらの点を（±ａ、０）および（０、±ｂ）としておきます。
公式としてその面積はπ＊１／２＊１／√２で与えられるのですが、きちんと積分すると、
面積S＝４∫ｙｄｘ　（ｘの範囲は０から１／２）
　　　＝４∫ｂ／ａ・√（ａ＾２－ｘ＾２）ｄｘ　（ｘの範囲は同上）
　　　＝４ｂ／ａ∫√（ａ＾２－ｘ＾２）ｄｘ　（ｘの範囲は同上）
　　　＝４ｂ／ａ＊πａ＾２／４
　　　＝πａｂ
となります。あとはａ，ｂに上記の数値を代入するだけです。
考え方、および∫計算の詳細は下記をご参照ください。
http://www.cfv21.com/math/intarea2.htm

お礼

ありがとうございました。