曲線に内接する多角形

質問

曲線 C: 13x^2 + 10xy - 6x + 13y^2 + 42y - 27 = 0 があります。
1. C に内接する正三角形は存在しますか。また、C に内接する三角形のうち面積最大のものが存在するなら、その面積の値は何ですか。
2. C に内接する正方形は存在しますか。また、C に内接する四角形のうち面積最大のものが存在するなら、その面積の値は何ですか。

突破口が見つからず、教えていただけないでしょうか。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

13x^2 + 10xy - 6x + 13y^2 + 42y - 27 = 0 というのをそのまま扱うのは面倒臭いので、これを適当に変形することを考えます。ぱっと見でCは楕円に見えますが、これをわかりやすい表示にします。

A.
まずは、Cを平行移動して、-6x, 42yの項を無くします。Cをx方向にA, y方向にB動かした時の式を計算し、その時-6x, 42yの項がなくなるようA, Bの値を決めます。実際にA, Bの値をいくらにすればよいかは確認してください。

B
Aが終わった段階で、曲線Cが移動した先の曲線C1は、原点中心の点対称な図形になっているはずです。次にこれを原点を中心に回転させ、10xyを消すことを考えます。「原点を中心とした回転したあとの図形が表す方程式の出し方」は大丈夫でしょうか。

C.
で、Bが終わると、C1が移動した後の図形は実は短軸2, 長軸3の楕円であることが分かるはずです。

ここまでが前段階で
1.
そうすると「C に内接する正三角形は存在する」ことはほぼ明らかです。「C に内接する三角形のうち面積最大のもの」に関しては、Cの短軸方向を「引き伸ばして」円にしてしまい、円に内接する三角形のうち面積が最大のものを求め（正三角形ですよね）、あとで引き伸ばした分をまたもどせばよいです（引き伸ばした分を戻した後の図形は正三角形ではなくなっています）。

2.
これも同様です。

No.1さん
最大の面積のものを求めるのは、内接「正三角形」ではなく内接「三角形」です。

お礼

回答、ありがとうございます。
教わったとおりやってみました。
A. → 13x^2 + 10xy + 13y^2 - 72 = 0
B. → 10cos(2θ) = 0 から θ = π/4 だけ回転 → 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0
C. (x^2)/9 + (y^2)/4 = 1
1. (0, 3), ((-3√3)/2, -3/2), ((3√3)/2, -3/2) → (0, 2), ((-3√3)/2, -1), ((3√3)/2, -1) → S_max = (9√3)/2
2. (-3/√2, 3/√2), (-3/√2, -3/√2), (3/√2, -3/√2), (3/√2, 3/√2) → (-3/√2, √2), (-3/√2, -√2), (3/√2, -√2), (3/√2, √2) → S_max = 12

回答No.5

tmpname

> A. → 13x^2 + 10xy + 13y^2 - 72 = 0
> C. (x^2)/9 + (y^2)/4 = 1
> 1. S_max = (9√3)/2
> 2. S_max = 12

大丈夫です。

お礼

おかげさまで解決したようです。
ありがとうございました。

回答No.4

mnakauye

こんにちは、

　ｘとｙの２次式なので、２次曲線の陰関数で、ｘ＾２、ｘｙ　ｙ＾２　の２次の部分だけ見れば、ｘとｙの対称式ですから、

　　４５度の回転　ｘ＝（Ｘ－Ｙ）／√２、　ｙ＝（ｘ＋ｙ）／√２　による軸変換で、いわゆる２次曲線の式の標準形にできます。

　　それで楕円であることがわかります。（図参照）

　ご自分で計算して絵を書いてみてください。

　　一般には、４５度回転とは限らないですから、角度θの軸変換をします。それで図形が何であるかを見つければ、問題で問われている条件の図形が見つかります。

　回答は、変換したことと、変換後の図形について絵を描いて説明するといいのです。

　他の方が答えられているように、さらに平行移動をして、楕円と円は中心が、双曲線であれば焦点の中点が、放物線は頂点が原点にくるようにすれば、解決法がさらにわかりやすくなります。

　（ただしもとのｘ，ｙの値を算出する式は、それだけ複雑になりますが、この問題の場合は出す必要がないので。）

無理に平行移動しなくてもいいです。

　面積最大、特に三角形は、他の方が答えられているように、楕円ですから、真円にして、伸張率を考えればいいことになります。

　正三角形や正方形を問われているのは、いわば出題者がヒントを与えているのです。

計算がんばってください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

tmpname

ああ、良く考えると「半短軸」 2, 「半長軸」3というのでしたね....

回答No.1

info22_

ヒント
曲線Cは楕円です。
曲線Cをx軸方向に-1,y軸方向に+2平行移動し、反時計周りに45°回転してやると
　x^2/9 +y^2/4=1 ...(D)
と楕円の標準形の式になります。

1
>Cに内接する正三角形は存在しますか。
楕円(D)で考えればわかり易いでしょう。
存在します。

例えば頂点の1つが(2,0)にある場合の内接正三角形で、一辺の長さa=72√3/31,面積S=3888√3/961≒7.0075
となります。

曲線(D)の対称性から、内接正三角形の頂点を(p,q)(0≦p≦3,0≦q,p^2/9+q^2/4=1)として正三角形の他の頂点を求めて、正三角形の面積Sをpの関数として表し、その最大値を求めればいいでしょう。

2
>C に内接する正方形は存在しますか。
楕円(D)で考えればわかり易いでしょう。
存在します。

例えば、４つの頂点が(√6,√6),(√6,-√6),(-√6,√6),(-√6,-√6)の場合で、一辺の長さa=2√6,面積S=24
となります。

曲線(D)の対称性から、内接正方形の頂点を(p,q)(0≦p≦3,0≦q,p^2/9+q^2/4=1)として正方形の他の頂点を求めて、正方形の面積Sをpの関数として表し、その最大値を求めればいいでしょう。

あとはご自分で考えてやってみてください。

お礼

ありがとうございました。