媒介変数表示による曲線の面積

質問

数IIIの問題で、曲線Ｃ：x=cos2θ+3,y=cos2θ+2cosθ-3 (0≦θ≦π)の(x,y)の増減を調べて、概形を描き、曲線Ｃとx=4で囲まれる図形の面積を求めよ。と言う問題があります。図を描くところまでは出来たのですが、僕の書いた図は、x=4では囲まれないような図形です。描いた図形はxの範囲は2～4でyの範囲は-4～-(9/2)でx=5/2の時に最小値を取るような図形です。僕の間違いを指摘するのはこれだけの情報では難しいと思うので、可能なら、どこが間違ってるのか、あと解法のヒントを教えてください。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

＃１です。各θの値でのx,yの値を示しています。曲線Ｃ上のいくつかの点ですが。
θ=０のときのＸＹの座標が(4,0)、θ＝π/4のときＸＹの座標が(3,約1.6)、θ＝π/2のときＸＹの座標が(2,-4)、θ＝πのときＸＹの座標が(4,-4)となるという意味です。
両端のθ=０とπでＸが４となるのでx=4の直線と交差すると判断しました。

お礼

なるほど!分かりました！一つ気になるのはθ=π/4の時、y=2^(1/2)-3なので約-1.6ですよね？ありがとうございました！

回答No.3

repobi

傾いた楕円になりますか？

x=cos2θ+3 ⇒ dx/dθ=-2sin2θ=-4sinθcosθ
y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1)

dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=(2cosθ-1)/2cosθ
∴dy/dx=0 ⇒ cosθ=1/2 ⇒ θ=π/3,2π/3

となりますよ。
あとは、増減表を書いて図を描いてください。
ちゃんとx=4 で囲まれます。

お礼

ありがとうございます。
y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ-1)
は

y=cos2θ+2cosθ-3 ⇒ dy/dθ=-2sin2θ-2sinθ=-2sinθ(2cosθ+1)
ですか？(dx/dy)''も＜０と＞０があります。

回答No.1

endlessriver

縦長の楕円を右回りに傾けたようです。わたしの計算ではθ＝0、π/4、π/2、π
x＝4、 3、 2、 4
y＝0、約１.6、ー4、ー4
だからx＝4でかこまれているようです。
解法はcosθ,cos2θの公式を使い(y-x+6)^2=2(cosθ)^2=2(x-2)
からyの2つの式を求めその差が面積になります。
あとはxの値域に注意すればよいです。

お礼

ありがとうございます。ただ、
θ＝0、π/4、π/2、π
x＝4、 3、 2、 4
y＝0、約１.6、ー4、ー4
はどういうことを表しているんでしょうか？増減表でしょうか?