曲線に関する問題

質問

軌跡に関する問題です。どなたか回答お願いします。
xy平面上に点(-1,0), 点(1,0)および点P(x,y)がある。距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき、点Pの描く軌跡を曲線Ｃとする。
(1)曲線C上でyの取りうる最大値をSの関数として求めよ。
(2)x>0において、s=1の場合の曲線Cで囲まれた領域Dを考える。
領域Dが直線x=√3yによって2つ分割されるとき、２つの領域の面積をそれぞれ求めよ。領域Ｄをｘ軸の周りに回転してできる立体の表面積を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

A#2の続きです。

(2)
s=1の場合
曲線C(点Pの軌跡)の方程式は(B)より
　(x^2-1)^2+2(x^2+1)y^2+y^4=1 (x>0) ...(G)
x=rcos(t),y=rsin(t)とおいてr^2について解くと
　r^2=2cos(2t) (-π/4≦t≦π/4)...(H)
(G),(H)の曲線Cのグラフはレムニスケート（連珠系）と呼ばれます。グラフを添付図に示します。

領域D(x>0)を直線x=√3yによって2つ分割した時の領域（小さい方、水色の領域）の面積S1,領域(大きい方、黄色の領域の面積S2,両方合わせた面積をS（=S1+S2）とすると
S=2∫[0≦t≦π/4,r^2=2cos(2t)] rdrdt
=2∫[0,π/4]dt∫[0,√(2cos(2t))] rdr
=2∫[0,π/4]dt{[(1/2)r^2][0,√(2cos(2t))]}
=∫[0,π/4] 2cos(2t)dt
=[sin(2t)][0,π/4]
=1 ...(I)
S1=∫[π/6≦t≦π/4,r^2=2cos(2t)] rdrdt
=∫[π/6,π/4]dt∫[0,√(2cos(2t))] rdr
=∫[π/6,π/4]dt{[(1/2)r^2][0,√(2cos(2t))]}
=(1/2)∫[π/6,π/4] 2cos(2t)dt
=(1/2)[sin(2t)][π/6,π/4]
=(1/2)(1-√3/2) ...(J)
=(2-√3)/4
S2=S-S1=1-(2-√3)/4=(2+√3)/4 ...(K)

領域Ｄをｘ軸の周りに回転してできる立体の表面積をSoとすると
So=2π∫[0,√2] y√(1+(y')^2) dx
=2π∫[0,√2] √(y^2+(yy')^2) dx ...(L)

(G)の式からyを求めると
　y^2=(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1
xで微分して
　2yy'=4x(4x^2+1)^(-1/2)-2x
　yy'=x(2-(4x^2+1)^(1/2))/(4x^2+1)^(1/2)
y^2+(yy')^2
=(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1
+x^2(2-(4x^2+1)^(1/2))^2/(4x^2+1)
=(4x^2+1)^(1/2)-x^2-1
+x^2(4+(4x^2+1)-4(4x^2+1)^(1/2))/(4x^2+1)
=((4x^2+1)^(1/2)-1)/(4x^2+1)

(L)に代入
So=2π∫[0,√2] √{((4x^2+1)^(1/2)-1)/(4x^2+1)} dx
参考URLのサイトで不定積分すると
=[π(1+√(4x^2+1))√{√(4x^2+1)-1}/x][0,√2]
=2π(2-√2) ...(M)

(2)の答え　(J).(K),(M)

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

図まで添付してくださり、とても助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき
点A,点Bが未定義です。

>点(-1,0), 点(1,0)および点P(x,y)がある。
「点A(-1,0), 点B(1,0)および点P(x,y)がある。」
ではないですか？

そうだとして
(1)について回答します。

>距離APと距離BPの積が一定値s(>0)のとき、
これを式に直せば
AP=√{(x+1)^2+y^2},BP=√{(x-1)^2+y^2}より

　[√{(x+1)^2+y^2}][√{(x-1)^2+y^2}]=s(>0)

となります。
両辺自乗して

　{(x+1)^2+y^2}{(x-1)^2+y^2}=s^2 ...(A)
括弧を展開して
　(x^2-1)^2+2(x^2+1)y^2+y^4=s^2　...(B)
これが点P(x,y)の軌跡の曲線Cの方程式です。
添付図の黒実線のグラフです。s=0.7,1,1.5,2,3の場合を同じ図上にプロットしてあります。赤丸がyの最大値や極小値を示す点です。

(B)をxで微分して整理すると
　4x(x^2+y^2-1)=0　...(C)
yが最大となる点(x,y)の条件
　x=0 または x^2+y^2=1 ...(D)

(D)のグラフは添付図の水色実線に示す。この曲線(Y軸と中心原点、半径1の円）上に曲線Cのyの最大値や極値の点(赤丸)が
存在します。

(B)をx^2について整理すると
　x^4+2(y^2-1)x^2+1-s^2+2y^2+y^4=0　
X=x^2(≧0)とおくと
　X^2+2(y^2-1)X+1-s^2+2y^2+y^4=0　...(E)
実数X(≧0)の存在条件(必要条件)から
　判別式D/4=(y^2-1)^2-(1-s^2+2y^2+y^4)=s^2-4y^2≧0
　　∴-s/2≦y≦s/2 ...(F)
y=s/2が最大値となる条件
　y=s/2を(C)に代入して整理すると
　X^2+2((s^2-4)/4)X+(s^2-4)^2/16=0
　(X+(s^2-4)/4)^2=0
　X=(4-s^2)/4
0<s≦2 ...(G)の時　X≧0
　x=±√X=±√(4-s^2)/2
とxが存在する。
従って,
　0<s≦2の時　x=±√(4-s^2)/2で
　yは最大値y=s/2をとる。
なお、この時の点P(x,y)は
　x^2+y^2=(4-s^2)/4 +s^2/4=1
と(D)の「後半の条件」x^2+y^2=1を満たしている。

s>2の場合はyが最大となる条件は(D)の「前半の条件(x=0)」となる。この場合のyの最大値は、(B)の曲線Cの式でx=0とおいて求められる。

　1+2y^2+y^4=s^2
　(y^2+1)^2=s^2
　y^2+1=s(>0)
　y^2=s-1(≧0　→　s≧1)
　∴y=√(s-1)
この時(E)は
　X^2+2(s-2)X=0
　X(X-4+2s)=0
s>2,X≧0なので(X-4+2s)>0
　∴X=0 ∴x=0
従ってs>2の場合はx=0でyの最大値y=√(s-1)

まとめると
0<s≦2ではy=s/2が最大値であるから、y=√(s-1)は極小値になります。
s≧2ではx=0でy=√(s-1)が最大値になります。

(1)の答え
0<s≦2のときyの最大値=s/2
s≧2のとき　yの最大値=√(s-1)

長くなるので(2)は別回答にします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

計算が少々複雑なのと、「場合分け」が必要となるところがポイントでしょうか。
高校数学の範囲でも解ける問題ではあります。
不器用な解き方だとは思いますが、以下概要を。

考える式は以下の陰関数になります。
　{ (x+1)^2+ y^2 }・{ (x-1)^2+ y^2 }＝ s^2

まず、この式は x軸にも y軸にも対称になることがわかるので、
x≧ 0、y≧ 0の領域で考えていけばよいことがわかります。

「場合分け」ですが、0＜ s＜ 1、1≦ s＜ 2、2≦ sで分けることになります。

場合分けを導くところですが、

【場合分け その1】
y^2＝ Yとおくと、もとの式は Yの 2次方程式とみなすことができます。
そこから Yを xと sで表します。
Y＝ y^2≧ 0でなければならないので、そこから xの取りうる値の範囲(定義域)を考えます。
このとき s＝ 1を境界とする場合分けが必要となります。

【場合分け その2】
Y＝ (xと sの式)から dY/dxを求め、最大値をとるときの xの値を考えます。
この過程で s＝ 2を境界とする場合分けが出てきます。

WolframAlphaとかで一度グラフを描かせてみれば、検討はつくとは思います。
とにかく x^2や y^2があちこち出てくるので、x^2≧ 0や y^2≧ 0となることを条件に用います。

お礼

ありがとうございました。