曲線 y=x^2-ax(a>0) と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y

質問

曲線 y=x^2-ax(a>0)　と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y=px^2　が2等分するように、pの値を求めよ

という問題で、添付画像のように計算していったのですが、
途中の答えが解答とあいません
(汚くてすみません・・（－－；

添付画像の最後の行の、 a^3/6(1-p)^3　が、解答では、a^3/6(1-p)^2　となっていて、
いつの間にか　(1-p)　が一つ減っています。
(問題の答えまではもうちょっと続きますが・・・)

解答の計算方法とは違う方法でやったので、自分がどこでミスっているのかがわからないのです。
何回も何回も計算しましたが、やっぱりわからないのです。

ちなみに普通の積分と同じようなやりかたでもやってみましたが、今度は-5a^3/6(1-p)^2となってしまいました。
多分マイナス計算でぐっちゃぐちゃになってるのだと思います・・・。

何回も考えて　もう頭がこんがらがって意味がわかりません。
すみませんが教えてください

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

下の部分の積分計算において、3行目から 4行目の変形でくくり出したはずの(1-p)が消えていますね。
これが、計算違いの原因だと思います。

もし余裕があれば、
∫[α→β] (x-α)(x-β)dx ＝ -1/6* (β-α)^3

という準公式を一度使ってみてください。
2つの積分とも、これですっと計算できてしまいます。
その場合も、くくり出したところは忘れないように。

あと、この問題の答えは aに関係しないところがある種面白い問題ですね。
aがいくら大きくなっても、二等分する pの値は一定のまま・・・
一見変な感じですが、グラフをよく見てるとわかると思います。

お礼

おはようございます。

あぁ！！
なるほど、これか！
ありがとうございます。助かりました。

>∫[α→β] (x-α)(x-β)dx ＝ -1/6* (β-α)^3
もうちょっと、計算に対して余裕が出来たらやってみたいとおもいます。
ありがとうございますー

へぇ・・・
グラフを、ちゃんと描いてみようと思います～
ありがとうございました！

回答No.4

info22_

添付図の文字が薄くて途中計算の文字（特にべき乗数などの小さな文字）が判読不能で読めません。

S=∫[0,a]{0-(x^2-ax)}dx=∫[0,a] (ax-x^2)dx=(a/2)a^2-(1/3)a^3
　=(a^3)/6

p<0でないと二等分できないので p<0とする。

∫[0,a/(1-p)] {px^2-(x^2-ax)}dx=∫[0,a/(1-p)] {ax-(1-p)x^2}dx
=(a/2)(a^2)/(1-p)^2-{(1-p)/3}(a^3)/(1-p)^3
={(a^3)/(1-p)^2}{(1/2)-(1/3)}={(a^3)/6}/(1-p)^2
=S/(1-p)^2
=S/2
∴(1-p)^2=2
p<0なので 1-p>0
したがって
1-p=√2
∴ p=1-√2

お礼

おはようございます

ごめんなさい！＞＜
積分の式を皆さんのように一行で書けたら良かったのですが、書き方がわからなくって・・。

ありがとうございました！

回答No.2

spring135

∫[0,a/(1-p)]｛(p-1)x^2+ax｝dx=(1/2)∫[0,a]｛-x^2+ax｝dx
を計算すればよい。
(1-p)^2=2
が出てくるので
ｐ＜0
より答えは
p=1-√2

お礼

おはようございます

左辺の式の途中で計算をミスってました；

ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

「汚い」というか, 単純に読めないです.
x^2 の係数, 1-p を忘れてませんか?

お礼

おはようございます

申し訳ないです・・

はい・・忘れてました。
くくりだしたのに、その事を忘れてしまってました。
慣れてない計算をするのって難しいんですね＾＾；
あれもこれもと思うと、バカな事をやってしまいます。

ありがとうございました！