曲線

質問

分からない問題があるのですが、f(x,y)=x^3+y^3-3xy (x, y∈R) のとき、方程式f(x、y)=0が定める平面曲線Cで
1) 直線y = tx とC との交点を考え，C のパラメータt による表示を与
えよ．
2) 曲線Cのうち，パラメータ0 ≦ t < 1 に対応する部分で囲まれた領域(C の補
集合の有界連結成分) の面積を求めよ．
というものが分かりません。どなたか回答お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

１）
連立方程式
　x^3+y^3-3xy=0
　y=tx
を解いて原点以外の交点を求めると
　(x,y)=(3t/(1+t^3),3t^2/(1+t^3))
これがCのパラメータ表示でもある。

２）
S=∫_C [0,3/2] xdy -∫[0,3/2] ydy
=∫[0,1] {3t/(1+t^3)}(dy/dt)dt -(9/8)
=∫[0,1] {3t/(1+t^3)}{(3t^2)/(1+t^3)}'dt-(9/8)
=∫[0,1] {3t/(1+t^3)}{(3t(2-t^3))/((1+t^3)^2)}dt-(9/8)
=∫[0,1] 9(t^2)(2-t^3)/(1+t^3)^3 dt -(9/8)
= …　　この積分の途中計算はやってみてください。
=(15/8) -(9/8)
=3/4

分からなければ、やった途中計算式を補足に書いて詰まったところを訊いて下さい。

お礼

ありがとうございます