3曲線に囲まれた面積について教えてください

質問

3曲線　y = x^2, y = (x-4)^2, y = x^2-6xで囲まれた図形の面積を求めよ

この問題を微分積分などを用いた途中式と答えを教えてもらえるとありがたいです

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

（１） y = x^2
（２）　y = (x-4)^2
（３） y = x^2-6x

のグラフをまず描いてみましょう

（１） と （３） の交点は x^2 = x^2-6x を解いて x = 0
（１） と （２） の交点は x^2 = (x-4)^2 を解いて x = 2
（２） と (３） の交点は (x-4)^2 = x^2-6x を解いて x = 8

です

0 ≦ x ≦ 2 の範囲は
（１） と （３） の間の面積を求めればよいので

x^2 - （x^2-6x） ＝ 6x を積分して 3x^2 なので
面積は 3・2^2 - 3・0^2 ＝ 12

2 ≦ x ≦ 8 の範囲は
（１） と （３） の間の面積を求めればよいので

(x-4)^2 - （x^2-6x） ＝ 16 - 2x を積分して 16x - x^2 なので
面積は (16・8 - 8^2) - （16・2 - 2^2） ＝ 36

0 ≦ x ≦ 8 の範囲の面積は　

12 ＋ 36 ＝　48

お礼

わざわざ時間を割いていただき感謝して
います。本当にありがとうございました。

回答No.3

info22_

3曲線　y = x^2, y = (x-4)^2, y = x^2-6xで囲まれた領域を
x=0～2とx=2～8の領域の２つに分割して考えるといいでしょう。
ここで、
　y=x^2とy=x^2-6xの交点は(0,0)
　y=x^2とy=(x-4)^2の交点は(2,4)
　y=(x-4)^2とy=x^2-6xの交点は(8,16)

囲まれた図形の面積Sは

S=∫[0,2] {x^2-(x^2-6x)}dx+∫[2,8] {(x-4)^2-(x^2-6x)}dx
=∫[0,2] 6x dx+∫[2,8] (16-2x)dx
=[3x^2](x=2)-[3x^2](x=0) + [16x-x^2](x=8)-[16x-x^2](x=2)
=12-0 + (128-64)-(32-4)
=12 + 64-28
=48

回答No.2

shuu_01

No.1 は積分をどうテキストで書いて良いのかわからなかったので
手書きで図示します