方程式の組み立て方について

質問

方程式の組み立て方について

”曲線上のp(x,y)の接線とx軸の交点をQとした時、PQが一定の値Kとなる曲線を求めよ”
という問題の考え方について教えてください。

以下は自分なりの考えです。

曲線をy=f(x)として座標p(a,b)の接線の方程式を考える。

bはaにより決まるので P(a,f(a)),傾きは1回微分のf'(a)，
∴　y=f'(a)x+cの直線の式に点Pを代入して、f(a)=f'(a)a+c
c=f(a)-f'(a)aを代入して、y=f'(a)x-f'(a)a+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)

これとx軸の交点のx座標はy=0の時、
f'(a)(x-a)+f(a)=0
f'(a)x=f'(a)a-f(a)
x=a-f(a)/f'(a)

三平方を使って」、
PQ^2={(f(a))^2+{(a-f(a)/f'(a))-a}^2}
={(f(a))^2+(f(a)/f'(a))^2}=K^2

y^2 + (y/y')^2 = K^2
となります。

あまり見たことのない微分式ですが、解けるのでしょうか？
お手数をおかけします。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

>y^2 + (y/y')^2 = K^2
>あまり見たことのない微分式ですが、解けるのでしょうか？

WolframAlphaサイト：http://www.wolframalpha.com/
で
「solve((y/y'(x))^2=K^2-(y(x))^2,y(x))」
と入力してみて下さい。
微分方程式を解いてくれるようです。

お礼

すごい！こんなサイトがあったんですね。
途中経過まで解るのはありがたいです。

解ける事が解ったので頑張ってみます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

おおむね合っているとは思います。
ところどころで微妙な表現がありますが。＾＾

＞曲線上のp(x,y)の接線
「点P(x, y)における接線」という意味ですよね？

＞y^2 + (y/y')^2 = K^2
最後のところは、ひとまず y '/y＝・・・の形に変形してからですね。

お礼

” y '/y＝・・・の形”
対数微分法とかで見たかもしれません…orz
忘れているって怖いですね…

取りあえず、頑張ってみます。