接線と方程式

質問

２次曲線の接線の方程式について方程式ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0を満たす点(x,y)が存在するとき、xとyの間には一種の関数関係があると考えることができる。y をxの（陰）関数をとして合成関数の微分法を適用することにより、y^,をx , yの式で表せ。
また上記の結果を利用して、円、楕円、双曲線、放物線上の点P（x0,y0）における接線の方程式を導け。ただし、いずれの曲線も標準形で表してよい。

という問題ですが、
まず最初のy^,をx , yの式で表せというのは
2ax + bxy' + 2cx + ey' = 0
y' = -(2ax + 2cy) / (bx + e)
ということでいいのでしょうか
すると点P（x0,y0）における接線の方程式において
y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0)
ということになりますがこのあとの処理がわかりません・・・・。

回答No.3

Meowth · ベストアンサー

ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
2axdx+bydx+bxdy+2cydy+ddx+edy=0
(2ax+by+d)dx+(bx+2cy+e)dy=0

y^がdy/dxのことなら
dy/dx=-(bx+2cy+e)/(2ax+by+d)
接線の式は、
(2ax0+by0+d)(x-x0)+(bx0+2cy0+e)(y-y0)=0

点P（x0,y0）は方程式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f= 0上の点だから
ax0^2+bx0y0+cy0^2+dx0+ey0+f= 0がなりたつ。
接線の式を展開すると、定数項は
2ax0^2+2bx0y0+2cy0^2+ey0+dx0
=-2(dx0+ey0+f)+ey0+dx0
=-dx0-ey0-2f
(2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=dx0+ey0+2f
とくに、1次の項が０(e=d=0)の場合、
(ax0+by0/2)x+(bx0/2+cy0)y=f
対角化されていてb=0の場合=いわゆる標準形の場合、
ax0x+cy0y=f
円、楕円、双曲線、放物線の点P（x0,y0）における接線の方程式は、
曲線も標準形なら、
円
x^2+y^2=r^2 → x0x+y0y=r^2
楕円
x^2/a^2+y^2/b^2=1 →　x0x/a^2+y0y/b^2=1
双曲線
x^2/a^2-y^2/b^2=1 →　x0x/a^2-y0y/b^2=1

回答No.4

Meowth

(訂正と追加）
符号をまちがえたので、
(2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=-(dx0+ey0+2f)
とくに、1次の項が０(e=d=0)の場合、
(ax0+by0/2)x+(bx0/2+cy0)y=-f
対角化されていてb=0の場合=いわゆる標準形の場合、
ax0x+cy0y=-f

放物線を抜かしたので、
放物線の標準形
y^2 =4ax
(2ax0+by0+d)x+(bx0+2cy0+e)y=-(dx0+ey0+2f)
でa=0,b=0,c=1,d=-4a,e=0,f=0とおけば、
-4ax+2cy0y=4ax0
y0y=2a(x+x0)

回答No.2

age_momo

>y' = -(2ax + 2cy) / (bx + e)
>ということでいいのでしょうか

少し違います。

ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
2ax + bxy' + by + 2cyy' + d + ey'=0
(bx + 2cy + e)y' = -(2ax + by +d)
y' = -(2a + by +d)/(bx + 2cy + e)

>y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0)
>ということになります

少し違います。直線の方程式ですから変数x,yは1個ずつです。

y - y0 =-(2ax0 + by0 +d)/(bx0 + 2cy0 + e) (x - x0)　・・・(1)

でしょう。次に円の標準的な形は

(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2
x^2 - 2mx + y^2 -2ny + m^2 + n^2 - r＾2 = 0
a=c=1,b=0,d=-2m,e=-2n,f=m^2 + n^2 -r^2　となって(1)は

y - y0 =-(2x0 - 2m)/(2y0 - 2n) (x - x0)
(y0 - n)(y - y0) =-(x0 - m)(x - x0)
(x0 - m)(x - x0) + (y0 - n)(y - y0) = 0　・・・(2)

こういうことが求められているのではないでしょうか。

回答No.1

info22

ax^2+ bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
2ax+by+bxy'+2cyy'+d+ey'=0

＞　2ax + bxy' + 2cx + ey' = 0
この式は間違いです。

y'=-(2ax+by+d)/(bx+2cy+e)
＞　点P（x0,y0）における接線の方程式において
＞y - y0 = {-(2ax + 2cy) / (bx + e)} (x - x0)
は間違いで
y -y0 = -{(2ax0+by0+d)/(bx0 +2cy0+e)}(x -x0)　…(A)
が正解です。
例えば円の場合標準形は
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2　…(1)
これを2次形式に展開すれば
x^2+y^2-2px-2qy+p^2+q^2-r^2=0
2次形式の式の係数と比較して
a=c=1,b=0,d=-2p,e=-2q,f=p^2+q^2-r^2
これらの関係を(A)に代入すれば円(1)の接線の方程式になります。
y-y0=-(2x0-2p)(x-x0)/(2y0-2q)=-(x0-p)(x-x0)/(y0-q)
整理して
(p-x0)(x-x0)+(q-y0)(y-y0)=0
これが円の接線の方程式です。

楕円、双曲線、放物線でも同じように標準形を2次形式に変形して
係数を比較して、その結果を接線の式に代入して式を整理する方法で
各標準形に対して簡単に接線か求められます。
やってみて下さい。