微分方程式の問題です。

質問

曲線y=f(x)(0＜a≦x≦b)上の点Ｐ(t,f(t))(a＜t＜b)における接線をlとし、l上の点でそのx座標がt+1となる点をQとおく。原点をOとして、ベクトルOPとベクトルPQのなす角をθとする。次の問いに答えよ。

(1)cosθをtを用いて表せ。
(2)a=1/4,b=1,f(x)=√xのとき、θが最大となるtを求めよ。
(3)a=1/2,b=2とする。全てのt(1/2＜t＜2)についてベクトルOPとベクトルPQが直行し、f(1)=√3となるf(x)を求めよ。

という問題です。微分方程式は授業で習っておらず自力で勉強しています。解答がなく、解き方が分からないので教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

(0)　ベクトル OP とベクトルPQ を、それぞれ t を含んだ式で表せ。

↑ これを、自分でやってみましょう。その上で…

(1)　ベクトル OP とベクトルPQ の内積を、成分計算と
　　(内積)＝(長さ)×(長さ)×(成す角のcos) の２通りの方法で表せば、
　　cosθ が t の式で表せます。

(2)　成す角は 0＜θ＜π の範囲なので、θ が最大になるのは
　　cosθ が最小になるときです。(y = cos x のグラフを思い出す。)
　　(1)で得た式を具体的な f(x) にあてはめて、
　　cosθ が最小になるような t を探しましょう。

(3)　「直交する」というのは、cosθ = 0 となることですよね？
　　すると、(1)の式から f(t) と f’(t) を含んだ式が立ちます。
　　それが、解くべき微分方程式です。

微分方程式を立てるところまで、上記ヒントに沿ってやってみて下さい。
式が立ったら、解く段階を説明しましょうかね。

回答No.2

info22_

(1),(2)は微分方程式を習っていなくても解ける問題です。
(1)は内積の定義式から cosθを求める。
(2)は(1)の結果にf(x)を当てはめてcosθ=g(t)の式を求めg(t)の最小値（このときθは最大になる）をとる時のtを求める。

自力解答を補足に書いて、分からない所があれば質問して下さい。

(3)は微分方程式を独習するか授業で習ってからにしましょう。

回答No.1

Tacosan

とりあえず (1) を解きましょうよ....