閉鎖経済 最適投資水準と均衡利子率

質問

2期間の閉鎖経済を考える。政府活動は存在しないものとする。代表的消費者は１と２期にそれぞれ１とｙの所得を外生的に得る。1期に所得の一部を消費し、残りを投資する。投資技術は線形である、1期にｋを投資すると、２期にAkの消費財を得る。（A>1)　ｋは1期に消滅してしまい、２期に残らないものとする。すなわち、消費者は２期に外生的な所得と投資からの消費財の合計ｙ+Akを消費できる。紅葉関数はU=ln(c1)+b*ln(c2)である。
１）投資が負にならないことに注意しながら、最適投資水準を求めよ。
１=c1+k
y+Ak=c2 ここから、y+A(1-c1)=c2,　ｙ+A=Ac1+c2
ラグランジュの関数は　G=ln(c1)+b*ln(c2)+lambda*(y+A-Ac1-c2)
微分すると、1/c1=lambda*A b/c2=lambda, ここから　1/c1=bA/c2 これを予算制約式に代入して、ｃ１、ｃ２とｋを求めることができると思います。しかし、次の質問で困ってます。
２）投資が負にならないことに注意しながら、完全競争均衡における利子率を求めよ。（効用最大化のための一階条件に注意せよ）

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

・ max U(c1,c2)
s.t.
c1 + k + s = 1 (1)
c2 = y + Ak + (1+ r)s (2)

(1)と(2)を効用関数に代入し、ｋとｓについて微分すると、最大化の1階の条件（クーン・タッカー条件）

　　　- U1+ AU2 ≦0　　k > 0のとき等号が成り立つ　　　(3)

　　　- U1 + (1+r)U2 = 0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

を得る。これらより

　　　1+r = U1/U2 ≧A　　　k > 0のとき等号が成立　　　（５）

（５）より、k >0ならば、等号が成立するので、1 + r = A、すなわち、この経済の利子率ｒは

　　　　r = A -1

と求められる。

・　U(c1,c2) = lnc1 + blnc2のとき、U1/U2 = c2/(bc1)だから、(5)の等式バージョンに(1) と(2)代入し、かつマーケット・クリアリング条件ｓ＝０を代入すると

　　　　(1-k)/(y-Ak) = A

を得る。これをｋについて解くと

　　　　k = (Ay-1)/(A^2 - 1)

を得る。これが最適投資水準である。この式より、ｋが正であるためにはAy > 1でなければならないことがわかる。

コメント。　上で説明しなかったけれど、ｓはこの代表的主体の貸借市場（lending and borrowing market)の貸借額だが、この経済には代表的主体しかいないので、均衡においてはｓ＝０である。貸借市場は利子率を明示的に表わすためにこの経済に導入されたが、上で述べたように、実際には（均衡においては）誰も借り手にも貸し手にもならないので、この貸借市場はアクティブではない。
コメント。Kuhn-Tucker条件は、選択変数に非負条件や制約式が等式ではなく、不等式であるときの最適条件である。
コメント。ｓは非負制約がないので、最適条件は等式だ。

お礼

すごいですよね！私は絶対自分で考えられないのです。ありがとうございます！

回答No.2

statecollege

NO1の訂正。

Kuhn-Tucker条件(以下ではK-T条件）は、選択変数に非負条件や制約式が等式ではなく、不等式であるときの最適条件である。
⇒K-Tr条件は、選択変数に非負条件が課されたり、あるいは制約式が等式ではなく、不等式であったりするときの最適条件である。

大学院ではミクロでかならず勉強するのですが、学部では習わないかもしれないので、ちょっと説明しておきましょう。いま市場価格がｐで、費用関数がC＝cq与えられた競争企業の利潤最大化問題を考えてみましょう。ただし、ｑは生産量、ｃは生産１単位あたりの費用で一定と仮定する。このとき、利潤最大化生産量を求めるとしてみよう。利潤をπと書くと
　　π= pq - C = pq - cq = (p-c)q
となる。ｑ≧0で制約されている（マイナスの生産量はない）ので、利潤最大化生産量はK-T条件

　　　　　dπ/dq ≦０　　かつ qdπ/dq =0

を満たすｑである。ところが、ｄπ/dq =p-cによって与えられるから、ｐがｃより大きいか、ｐがcに等しいか、ｐがｃより小さいかによって最適（つまり利潤最大化）生産量は３つのケースに分けられる。

1) p > cのとき、いかなるq≧0に対してもdπ/dq = p-c >0となり、K-T条件を満たすqは存在しない。利潤最大化生産量は存在しない。
2) p = cのとき、いかなるq≧0に対してもdπ/dq = p-c =0、かつqdπ/dq = 0（K-T条件）が成り立つ。つまりいかなるq≧0も利潤最大化生産量である。利潤最大化生産量は不定である。
3) p < cのとき、q=0だけがK-T条件を満たす（確かめよ！）よって、利潤最大化生産量はｑ＝０である。

なお、K-T条件は上のように書く代わりに

　　　dπ/dq≧0、　ただしq > 0ならば等号が成立する

と書くことがあります。NO１ではこちらのほうを使いました！