間違っているのはどこ？

質問

a,b,cを正の定数とし、x,yが
axy-bx-cy=0,x>0,y>0
を満たしているとき、x+yの最小値を求めよ。

x+y=kとおくと、y=k-xより、x>0,y>0だから　0<x<k。
y=k-xをaxy-bx-cy=0に代入して、ax^2-(ak-b+c)x+ck=0
これが、0<x<kに少なくとも1つの解を持てばよい。
y=ax^2-(ak-b+c)x+ckとおく。x=0のとき、y=ck>0,x=kのとき、y=bk>0
また、判別式=>0となる（計算すると分かる）。よって、0<x<kに解をもつから、
軸の条件から、0<(ak-b+c)/2a<kを解いて、kの範囲が分かり、最小値が分かると
思ったのですが、(b-c)/a<k, (c-b)/a<kが出てきましたが、答えには程遠いように
思います。間違いを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#130496 · ベストアンサー

「判別式=>0」が「任意の正のa,b,c,kについて(ak-b+c)^2-4ack≧0」を意味するとすれば、それは間違いだと思います。

お礼

回答ありがとうございます
判別式が平方の形になると勘違いしてました。
間違い箇所が判明したので、もう一度計算します。

回答No.7

noname#130496

#6お礼へ
示せたのなら良かったですね。
ちなみに、判別式≧0の同値条件は「k≦(b+c-2√(bc))/aまたは(b+c+2√(bc))/a≦k」のはずで、2が欠けています。
そこを修正することになりますが、そのせいで証明が困難になることはありません。
また、#4は求めたkが最小値であることの十分性を確認していますが、その必要はないでしょう。
質問にある「x=0のとき、y=ck>0、x=kのとき、y=bk>0」の観察が、「「判別式≧0」と「軸の条件」が、「(x, k)は0<x<kと方程式を満たす」と同値である」ことを保証しているからです。

お礼

回答ありがとうございます
最後まで、コメントを頂きありがとうございます。

回答No.6

noname#130496

#4にはもう少し空気を読んでほしい。
流れから言って、判別式≧0からなぜそれが最小値の唯一の候補と言えるか、つまり「b≠c (m≠n)の場合は0<k≦m+n-2√(mn)が質問者の「軸の条件」と両立しない」ことも示すべきだったのですが...。

お礼

回答ありがとうございます
(1)b>=cのとき
(2)b<cのとき
で場合分けをして、(-b+c)/a,(b-c)/a,(b+c-√bc)/a,(b+c+√bc)/a
の大小関係から,(b+c+√bc)/a=<kとなりました。正しいのかはあまり
自信はないが・・・・。

回答No.5

alice_44

質問氏が、自分の解法の間違いを訊ねているときに、
別解を示しているオナニストも居るしな。

回答No.4

mister_moonlight

まだ、やってんの。
まあ、ろくな回答してない“回答者もどき”が要るからね。。。。。ｗ
簡単な事なんだけどね。

簡単のために、b/a＝m、c/a＝n　とすると、m＞0、n＞0
この時、条件式は　xy－mx－ny＝0　これに、x+y=kを代入すると　x＾2＋(m-n-k)x+nk＝0　‥‥(1)
実数条件より判別式≧0　　　(必要条件を求める)
計算すると、確かに最小値は　先ほどと同じ答えになる。
その最小値を与えるxの値が　0とKの間にある事を確認すると良い。
Kの最小値を(1)に代入すると、その時のXの値が、{c+√bc}/a より、確かに　0＜{c+√bc}/a ＜{√c+√b}＾2/a　を満たすから、求める答えである。

回答No.3

alice_44

間違ってるのは、軸の位置を考えなかったこと。
負の解が２個の場合とか、考えてみた？

お礼

回答ありがとうございます
判別式が平方になると勘違いしてました。
判別式=>0を解くと、
k=<(b+c-√bc)/a,(b+c+√bc)/a=<kとでてきました。
軸からは、(-b+c)/a<k,かつ(b-c)/a<kがでると思うのですが、
これらの条件から、最後の詰めで、kの最小値が(b+c+√bc)/aと
なるのか・・・・。

回答No.1

mister_moonlight

面倒な事は嫌いなんで。。。。。ｗ

条件から、(ax-c)y＝bx　となる。
(1)　ax-c＝0の時、Ｐ＝x+y＝c/a+y＞c/a
(2)　ax-c≠0の時、ax-c＝t とすると、x＝(t+c)/a　y＝b(t+c)/(at) から、x＞0、y＞0　a＞0　b＞0　c＞0　より　t＞0
よって、Ｐ＝x+y＝(1/a)*(t+bc/t+b+c)であるから、相加平均・相乗平均より、t+bc/t≧2√bc 等号は、t＝√bcの時。
以上から、Ｐ≧(√b＋√c)＾2/a

お礼

回答ありがとうございます。
回答をみて、相加平均・相乗平均の手があったのかと・・・
正の数が至るところに出ていて、最小値のキーワードから
相加平均・相乗平均の解法が出てこないとだめでした。
それは、それとして方程式の解の存在から攻めた解法はどこが
間違っていたのでしょうか。気になってしまう。