指数分布族としてのワイブル分布

質問

指数分布族は対数尤度関数がLL(θ,φ)={xθ-A(θ)}/φ + c(x,φ)という共通のかたちをもつそうです（θはcanonical parameter,φはdispersion parameterと呼ばれるものです）。ワイブル分布の確率密度関数が
f = k λ^(-k) x^(k-1) exp[-(x/λ)^k]と書けるときに、対数尤度関数は
LL = k ln(x/λ) + ln(k/x) - (x/λ)^k になりますが、このときに、θ、φ、A(θ)、c(x,φ)はそれぞれどのように書けるのでしょうか？（c(x,φ)はexplicitに書けない？？）ご存知のかたがいらっしゃいましたらお教えいただけると助かります。

念のため上の式をTeX形式で書くと
f=k\lambda^{-k}x^{k-1}\exp\left[-\left(x/\lambda\right)^k\right]
LL=k\ln\left(x/\lambda\right)+\ln\left(k/x\right)-\left(x/\lambda\right)^{k}
となります。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

あまり統計は専門とは言いがたいので、参考にならないかも知れませんが、僕の知る限り、指数分布族というのは次のように定義されている本がほとんどでした。ただし1母数に限定して書いてみます。

(i) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)θ-A(θ))
(ii) p(x|θ)=h(x)exp(t(x)η(θ)-A(θ))

上のタイプよりも下のタイプの方が広い分布を含みますが、いずれも指数分布族と呼んでいるように思います。質問者様が書かれているタイプだと、

p(x|θ,φ)=exp(c(x,φ))exp({xθ-A(θ)}/φ)

ですから、要するに(i)タイプで、しかもt(x)=x/φと書けるものに限定しているようです。ただφは自然母数とは違う扱いをしているようなので、p(x|θ,φ)のようには書かない方がよいかもしれません。2母数指数分布とは違う意味で使っていると思われます。

ワイブル分布のkは未知母数ではなく、既知母数であると仮定して指数分布族の形にするには、

p(x|λ)=(kx^{k-1})exp(-x^k λ^{-k}-klog(λ))

とみて、(ii)タイプのh(x)=kx^{k-1}、t(x)=x^k、η(θ)=-θ^{-k}、A(θ)=-klog(λ)と思えばよいことになりますが、単にdispersion parameterを用いるだけでは、あなたのおっしゃるような形には変形できないと思います。というのは、x^kというようにexpの中にxのk乗が入ってくるから。同時に(i)タイプでも書くのは不可能で、より広い(ii)タイプの指数分布族になると思います。もし未知母数を-λ^{-k}だと思ってやると、

p(x|-λ^{-k})=

の形で書けば、何とか(i)タイプで記述できますが、やはりx^kが残るので、t(x)=αxのようなリニアなtでは記述できないものと思われます。

お礼

返答をありがとうございました＾＾
ご指摘から、私が読んでいる尤度に関する教科書の中での指数分布族の定義が不完全であるように思いました。図書館でこの分野の別の教科書を探してもっと詳しく勉強してみることにします。ありがとうございました。