dy/dt=ay+kの計算過程で教えてください

質問

答えは解っているのですが計算方法が解りません

y'=dy/dt=ay＋k
dy/(ay＋k)=dt
ln(ay＋k)*1/a=t＋c　←ここ
ln(ay＋k)=a(t＋c)
ay＋k=e^ac*e^at
ay=ce^at-k
y=ce^at-k/a

この3行目の左辺でなぜ1/aが出てくるのか解りません。
お願いします。

回答No.2

rainhater

ごめんなさい。三行目は

∫(ln(ay+k))'*(ay+k)'*(1/a)dy=∫dt

の間違いです。'が抜けてました。

回答No.1

rainhater

dy/(ay+k)=dt
∫(1/(ay+k))dy=∫dt
∫(ln(ay+k))*(ay+k)'*(1/a)dy=∫dt
(ln(ay+k))*(1/a)=t+C

つまり逆算すると、lnの中の(ay+k)を合成微分したときに、余分なaがでてしまうので、逆数をかけて相殺したわけです。

お礼

回答有難うございます。
自分は、合成微分というのは知らないのですが
∫1/xdx=lnx+C　の積分の基本式から
∫(1/ay+k)dy=ln(ay+k)+Cで計算できると思っていました。
Kの定数が付いただけで合成微分とい処理が必要なのですか。
合成微分とはどういう計算でしょうか。