図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて・・・

質問

図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて、→AB=→a、→AD=→b、→AE=→cとするとき、次の問いに答えよ。ただし、△EBDの重心をKとする。

(1)→AKを→a、→b、→cで表せ。

(2)対角線AGは点Kを通ることを証明せよ。

（１）AK=AB+AD+AE / 3
=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか？
説明お願いします。

（２）AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より　AK=1/3AG
よって、３点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか？
説明お願いします。

回答No.1

yyssaa

（１）AK=AB+AD+AE / 3
=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか？
説明お願いします。

ベクトルを↑で表します。
＞辺EBの中点(EBの長さを2等分する点)をD'、辺BDの中点をE'、
辺DEの中点をB'とすると、重心の定義より△EBDの重心Kは、
線分DD'線分EE'線分BB'の交点であり、Kはそれぞれの線分を
２：１の比で分割します。
↑a+↑BD=↑b、よって↑BD=↑b-↑a、
↑BE'=(1/2)*↑BD=(1/2)*(↑b-↑a)
↑AE'=↑a+↑BE'=(1/2)*(↑b+↑a)
↑c+↑EE'=↑AE'、よって↑EE'=↑AE'-↑c=(1/2)*(↑b+↑a)-↑c
定義により↑EK=(2/3)*↑EE'=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c
求める↑AK=↑c+↑EK=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c+↑c
=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)になります。

（２）AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より　AK=1/3AG
よって、３点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか？
説明お願いします。

＞↑AG=↑AB+↑BF+↑FG
ここで↑AB=↑a、↑BF=↑AE=↑c、↑FG=↑AD=↑bなので、
↑AG=↑a+↑b+↑cになります。
（１）で↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)を得たので、
↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)=(1/3)*↑AGになります。