ａは０より小さい実数とする。

質問

ａは０より小さい実数とする。

2次不等式x^2-4x+4-a^2≦0を満たす
xが3個だけ存在するような
aの範囲を求めよ。

答えは-2<a≦-1です。

わかりやすく説明も
あると嬉しいです。

回答No.3

noname#175206

x^2-4x+4-a^2≦0

　(x-2)^2-a^2≦0

(x-2-a)(x-2+a)≦0

「x-2-a≦0かつx-2+a≧0」または「x-2-a≧0かつx-2+a≦0」

「x≦2+aかつx≧2-a」または「x≧2+aかつx≦2-a」

　与えられた条件「a＜0」より、「x≦2+aかつx≧2-a」は「x＜2かつx＞2」となり、xを満たす実数はない。

　よって、「x≧2+aかつx≦2-a」のみが条件となり得る。

　ここまではできます。

　しかし、仮にそれらを満たす条件を考えても、不等式であることにより、xが実数であれば「xが3個だけ存在する」ような条件は出せません。

　なぜなら、y=x^2-4x+4-a^2として、幾何学としてグラフを考えると、下に凸な放物線ですから、実数で「y≦0を満たすxがある」という条件は、xがただ一つという解か、xと実数値のただ二つだけの大小関係で表すしかありません。

　後者は、xの取り得るのは範囲ですから、どうしても個数で言うなら「無数」とか「無限大の個数」となります。

　xの解を三つとすることは、お示しの範囲では出せません。従って、それを満たすaの条件も出せません。

　どうしても「xが3個だけ」とするためには、xについて他の条件が必要です。そうできれば、aについての条件も求められる可能性があります。

回答No.2

117mmos

xが3個って、整数xが3個ってことですよね？

不等式の右辺を
f(x)=x^2-4x+4-a^2として、

f(x)を平方完成すると
x^2-4x+4-a^2
=(x-2)^2-a^2
となる。

ここから、f(x)は軸が2の下に凸の二次関数つまり、x=2で最小となる二次関数となる。

よって、不等式を満たす整数xは

ｘ=1、2、3

となる。

不等式を満たす条件は
f(0)>0

f(1)≦0

f(3)≦0

f(4)>0
となり

これらを解くと、-2<a≦1、となる。

回答No.1

info22_

問題にミスがありませんか？このままだと解けません。

xが整数という条件を書き忘れていませんか？
そうだとして回答します。

y=f(x)=x^2-4x+4-a^2とおいてy=f(x)のグラフを考える。
f(x)=(x-2)^2-a^2 なので
y=f(x)は下に凸の放物線で対称軸x=2に対して対称であり、
yが最小となる時のxはx=2で最小値はf(2)=-a^2である。a<0なのでx=2はf(x)≦0を満たす整数解の１つである。
y=f(x)≦0を満たす整数が3個だけ存在するための必要十分条件は、整数解はx=2とその前後のx=1,3だけが不等式の解であることであるから
　f(1)=1-a^2≦0かつf(0)=4-a^2>0　...(☆)
となる。
なお、y=f(x)のグラフは軸x=2に対して対称なので(☆)の条件が
成り立てばf(2)＜f(3)≦0,f(4)>0は満たされる。
a<0の条件下で(☆)を解くと
　-2＜a≦-1
が求まる。