数学I 実数解の問題

質問

先ほど質問をしたのですが、画像を入れ忘れてしまいました。
ごめんなさい。
教えてくださった方ありがとうございます。

不等式　x^2-(a-1)x+a＜0　を満たす整数xがちょうど2個だけ存在するように、定数aの値の範囲を定めよ。

この問題で画像の①、②、③の部分について質問です。

①どこから１が来たのですか？
②どうやってこのように求められるのですか？
③②と同様に、どうやって求められるのですか？

よろしくお願いいたします。

回答No.5

maskoto

補足します
グラフの件について終わりの方を付け足しました

y＝x^2-(a-1)x+a
＝(X-1)(X-a)
のグラフを意識します
(X-1)(X-a)＝0
の解は
X＝1…①
とX＝a…②なので
このグラフとX軸の共有点もこれらの座標となる
a＝1だと①と被るのでこのときは重解と言うことになり
共有点(接点)はX＝1のみ
②の座標がX＝1より右か左にずれると
共有点(交点)は2箇所となるので
場合わけの(1)はグラフの共有点が1とその左にある場合
(2)はX＝1でのみ共有
(3)は共有点が1と右側
と言うことになります

(X-1)(X-a)<0とは
(X-1)(X-a)がグラフのy座標を表すので
y座標<0と言うことになります
つまりグラフがX軸の下になっている
そのようなXの範囲が、Xの二次不等式の解と言うことになります
なので、(1)〜(3)の各場合について
それぞれ二次関数グラフを考え
X軸より下になる範囲を考えるわけです
すると、例えば(1)なら、グラフがX軸より下になる範囲は
a<X<1
と言うことになります
だから模範解答の(1)のような記述に繋がるわけです

お礼

ありがとうございました！
とても助かりました。

回答No.4

maskoto

y＝x^2-(a-1)x+a
＝(X-1)(X-a)
のグラフを意識します
(X-1)(X-a)＝0
の解は
X＝1…①
とX＝a…②なので
このグラフとX軸の共有点もこれらの座標となる
a＝1だと①と被るのでこのときは重解と言うことになり
共有点(接点)はX＝1のみ
②の座標がX＝1より右か左にずれると
共有点(交点)は2箇所となるので
場合わけの(1)はグラフの共有点が1とその左にある場合
(2)はX＝1でのみ共有
(3)は共有点が1と右側
と言うことになります

②について
まずは、先ほど私が投稿した図付きの解説を読んで理解してください
それを、踏まえ
場合分け(1)の時のXの存在範囲が画像の青文字の②の直上の数直線です
◯は屋根の下には含まれないので
画像のように
aの位置を表す◯が、-2と-1の間にあるときは
屋根の下に含まれる整数(X)は0と、-1だけとなります
(1の位置にあるのは◯なので、1は屋根に含まれない)
この状態は題意を満たしてます

ここから左の◯の位置をスライドさせて
どこまで行けるか考えます
まず右へスライドさせて◯を-1のところまで持って来た(a＝-1とした)場合を考えます
すると-1は屋根から外れます
整数解は0のみとなるので不敵です
しかし、◯の位置が極々僅かでも-1より左にあるなら-1は屋根下となるので題意は満たされます
このことから、◯の右スライドの限界は
-1の僅かに左まで
つまり、aの値は-1では駄目だか-1より僅か
でも小さければよし
すなわち
a<-1と言えます

今度は◯を左にスライドです
◯を-2の位置までスライドさせたとき
-2はまだ屋根の外ですから
ここまでのスライドは題意を満たします
つまりa＝-2はOK
しかし、-2よりも僅かでも左へ◯をスライドさせると、-2も屋根下に含まれてしまうので
これは題意を満たしまへん
このことから、左スライドの限界は-2ジャストまでで
-2≦aとなります
合わせて
-2≦a<-1です

③についても全く同じように考えます

お礼

詳しく教えてくださりありがとうございましたm(__)m

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞②どうやってこのように求められるのですか？

［１］ａ＜１のとき、ａがｘより小さくないと、不等式が成り立ちません。

つまり「ａ＜ｘ＜１」が成り立たないといけません。

「ａ＜ｘ＜１」が成り立つ場合、ｘは１より小さいです。１より小さい整数は「０、ー１、ー２、ー３」と無限にありますから、問題にあるように「２個だけ」が成り立つのは「０、ー１」の２個だけの時です。

つまり「ｘはー２よりも大きく、最小でー１」って事です。

「ｘがー２よりも大きく、最小でー１」と「ａ＜ｘ＜１」が両方成り立つのは「ａがー２以上」であり、かつ、「ａがー１未満」です。

つまり「ー２≦ａ＜ー１」って事です。

＞③②と同様に、どうやって求められるのですか？

②と同様に考えます。数値の範囲が異なるだけで、考え方は②とまったく同じです。

お礼

詳しく教えてくださり、ありがとうございます！

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞①どこから１が来たのですか？

どうして「ａ＜１」「ａ＝１」「ａ＞１」の３つに場合分けしているか？という意味の質問でしょうか？

まず、因数分解した①が成り立つのは「正と負を掛けた時」と「負と正を掛けた時」ですから「（ｘー１）」と「（ｘーａ）」は「互いに符号が異なる」のが条件です。

ａのとる値によって、「（ｘー１）＜（ｘーａ）」の時と「（ｘー１）＝（ｘーａ）」の時と「（ｘー１）＞（ｘーａ）」の時の３つに場合分け出来ます。

「（ｘー１）が負で、（ｘーａ）が正」になるには「（ｘー１）＜（ｘーａ）」が必要です。

「（ｘー１）が正で、（ｘーａ）が負」になるには「（ｘー１）＞（ｘーａ）」が必要です。

「（ｘー１）＝（ｘーａ）」の時は、（ｘー１）と（ｘーａ）は同じ符号になるので「正×負」「負×正」にはならず「解なし」です。それが「［２］ａ＝１の場合」です。

「（ｘー１）＜（ｘーａ）」の時は「ａ＜１の時」なので、これが「［１］ａ＜１の時」です。

「（ｘー１）＞（ｘーａ）」の時は「ａ＞１の時」なので、これが「［３］ａ＞１の時」です。

つまり、ａのとる値によって、「（ｘー１）＜（ｘーａ）」の時と「（ｘー１）＝（ｘーａ）」の時と「（ｘー１）＞（ｘーａ）」の時の３つに場合分けする、というのは、「ａ＜１」「ａ＝１」「ａ＞１」の３つに場合分けする、と言うのと同じ意味になるのです。

ですので、解説では「ａ＜１」「ａ＝１」「ａ＞１」の３つに場合分けしています。

お礼

①理解できました！！！
わかりやすい解説をありがとうございます！！！

回答No.1

fu5050

①式が（X-1）（X-a）だからです。
②③数直線で数えています。
整数となる解

お礼

ありがとうございます