実数

質問

(x＾3)-5(x＾2)＋ax＋8=0の１つの解が他の１つの解の2倍であるとき、実数aの値と3つの解をを求める。

解と係数の関係から
　　　３α＋β＝５・・・(1)
　　　２α^2＋３αβ＝ａ・・・(2)
　　　２α^2β＝－８・・・(3)
らしいのですが、どうやって〈1〉から（３）までの式が出たのかわかりません。
そして、
(1)と(3)からβを消去してαの３次方程式をつくり解くと
　　　α＝２、(－１±√(２３)ｉ)／２
そうですが、どのように求めるかわかりません。

答はa=2,解2,4,-1

です。

回答No.2

elttac

3 次方程式
　　x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
が，解 p，q，r を持ったとします。すると，方程式は，
　　(x － p)(x － q)(x － r) ＝ 0
と因数分解できるはずです。これを展開すると，
　　x^3 － (p ＋ q ＋ r)x^2 ＋ (pq ＋ qr ＋ rp)x － pqr ＝ 0
となります。これともとの方程式を比べれば，
　　p ＋ q ＋ r ＝ -a
　　pq ＋ qr ＋ rp ＝ b
　　pqr ＝ -c
となって，これが 3 次方程式の解と係数の関係です。

　それで，問題ですが，条件より，3 つの解は α，2α，β とおけます。すると，解と係数の関係から，
　　α ＋ 2α ＋ β ＝ 3α ＋ β ＝ 5
　　α・2α ＋ 2α・β ＋ β・α ＝ 2α^2 ＋ 3αβ ＝ a
　　α・2α・β ＝ 2α^2・β ＝ -8
が出ます。1 番めの式を 3 番めの式に代入すれば，α についての 3 次方程式が出ますから，これを解けば α は求められます。
　α が出れば（実数より 2），もとの方程式に代入して a ＝ 2 を得ます。同時に，2α にあたる解，x ＝ 4 も出てきます。
　あとは，解と係数の関係の第 3 式から（3 つの解の積は -8），もとの方程式を解くまでもなく 3 つめの解，x ＝ -1 が求められます。

回答No.1

cip

最後まで回答しないので「自信なし」で。

解と係数の関係についてはご存じでしょうか？
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku024.htm
を見て下さい。

３つの解を、α、２α、βと置けば、(1)～(3)の式は立つはずですが。

後半はどこまで分かりましたか？ それを書かないことには全ての回答を書くしかなくなります。
３次方程式をたてて、
６α^３－１０α^２－８＝０
これを解きましょう。
α－２で割れますね。

後はがんばって下さい。

参考URL：

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku024.htm