※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：aは１以上の実数、ｂは正の実数）
不等式の条件と定積分の最小値の求め方
このQ&Aのポイント
0以上のすべての実数xについて、不等式e^x-a(x+2b)>=0が成り立つためのa,bの条件を求める。
a,bが不等式の条件を満たす範囲を動くとき、定積分{∫[0->1]1/(x+2b)dx}/ae^bの値を最小にするa,bとその最小値を求める。
a=1のとき、不等式の条件を満たす最小のbは1/2であり、定積分の最小値はlog2/√eである。
aは１以上の実数、ｂは正の実数
(1)0以上のすべての実数xについて、不等式e^x-a(x+2b)>=0が成り立つ
ためのa,bの条件を求めよ。
これは、分かりました。答えは、b=<(1-loga)/2
(2)a,bが(1)でもとめた範囲を動くとき、定積分{∫[0->1]1/(x+2b)dx}/ae^bの値を最小にする
a,bとその最小値を求めよ。
つぎのように考えましたが、答えと違いました。どこがいけないのか教えてください。
a,bは(1)を満たすから、a/e^b=<1/(x+2b)となり、両辺に∫[0->1]をとると、
∫[0->1]a/e^bdx=<∫[0->1]1/(x+2b)dx。左辺を積分して、両辺をae^bでわると、
{(e-1)/e}×1/e^b=<{∫[0->1]1/(x+2b)dx}/ae^b・・＊
となり、e^bの最大値を考えればよい。b=<(1-loga)/2だから
e^b=<e^(1-loga)/2 の最大値を考えると、a=1のときで、b=1/2
このときe^b=<e^(1/2)、＊から、最小値は(e-1)/e^(3/2)
となりましたが、答えはa=1、b=1/2最小値はlog2/√e。
よろしくお願いします。
お礼
回答ありがとうございました。 間違いが理解できました。 最小値を求める際、相加相乗平均を用いての 間違いやすい例と似ているということが、グラフ を見て気づきました。