数学 ２次不等式

質問

２次関数f(x)=x^2+2ax+25, g(x)=-x^2+4ax-25 があり、aは実数としたとき
任意の実数xに対してf(x)＞g(x) が成り立つようなaの範囲を求めよ。

この問題の考え方、式を教えてください。。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

任意の実数xに対してf(x)-g(x)>0 が成り立つようなaの範囲を求めればよい。

f(x)-g(x)=2x^2-2ax+50>0

x^2-ax+25>0

左辺を平方完成すると

(x-a/2)^2+25-a^2/4＞0

これが任意のxについて成り立つためには左辺の最小値が正ならばよい

左辺の最小値はx=a/2の時でこのとき左辺の値は25-a^2/4

すなわち

25-a^2/4＞0

これを満たすaは

-10<a<10

お礼

早速のご回答有難うございます！無事理解できました＾＾

回答No.2

suko22

y=f(x)は下に凸の放物線
y=g(x)は上に凸の放物線

任意のｘに対してf(x)>g(x)が成り立つためには、この2つのグラフが交点を持たなければよい。
この2つのグラフが交点を持たない条件は、2つの式からｙを消去した2次方程式f(x)=g(x)が解をもたない条件と同じであるから、判別式D<0を満たすaの範囲を求めればＯＫ。

とするか、

任意のｘについてf(x)>g(x)が成り立つためには、
x^2+2ax+25>-x^2+4ax-25
2x^2-2ax+50>0
x^2-ax+25>0
この2次不等式の解が任意のｘとなることであるから、
その条件はD<0。これからaの範囲が決まります。

ご参考まで。

お礼

２つやり方あるんですね。よく理解できました＾＾