最小値の問題です

質問

y=(x^4+4x^3+8x^2+4x+1)/(x^3+x)でx>0のときの最小値とそのときのｘの値を求める問題で微分してｙ’＝０のときのｘの値を求めてｙに代入する方法でできるのですが結構時間がかかります、なにかもっと簡単な方法があるのでしょうか？

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

相反式の場合は x+(1/x)=t と置き換えるのが基本（数学A）でしたね。

(x^4+4x^3+8x^2+4x+1)/(x^3+x)
=(x^2+4x+8+4/x+1/x^2)/(x+1/x)
={(x+1/x)^2-2*x*(1/x)+4(x+1/x)+8}/(x+1/x)
=(t^2+4t+6)/t
=t+4+6/t

あとは，t≧2に注意して，相加・相乗平均の不等式を用いればいいわけです。
微分しても解けますが，数学２Ｂまでの解法（公式）で解ける場合は，そちらで解く方が簡単に解けることが多いです。

なお，微分したとき「y ’=0とおく」というのは，考え方が間違っています。正しくは「y ’の符号変化を調べる」ということですから，微分法についても復習された方がよいと思います。

お礼

ありがとうございます。なるほどです。

回答No.3

a103net

先程は微分にこだわって変なことを
書いてしまい申し訳ないです。
＃2の方の通りですね。

(x^4+4x^3+8x^2+4x+1)/(x^3+x)
=4+{(x^2+1)^2+6x^2}/x(x^2+1)
=4+(x^2+1)/x+6x/(x^2+1)
≧4+2√6（相加相乗平均）でした。

お礼

あ、ありがとうございます。

回答No.1

a103net

高３までの数学においては
y=x+4+(7x^2+1)/(x^3+x)
と変形してから微分するという
面倒な解法しかないと思います。